② 不同特征值对应的特征向量必定正交；
注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ○
③一定有n个线性无关的特征向量.
若A有重的特征值,该特征值?i的重数=n?r(?iE?A)；
④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥两个实对称矩阵相似?有相同的特征值.
正交矩阵 AA?E
√ A为正交矩阵?A的n个行（列）向量构成√ 正交矩阵的性质：① A?A；
② AA?AA?E；
③ 正交阵的行列式等于1或-1；
④ A是正交阵,则A，A也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；
⑥ A的行（列）向量都是单位正交向量组.
二次型 f(x1,x2,T?1TTT?1nT的一组标准正交基.
,xn)?xAx???aijxixj aij?aji，即A为对称矩阵，x?(x1,x2,Ti?1j?1nn,xn)T
A与B合同 CTAC?B. 记作：AB （A,B为实对称矩阵,C为可逆矩阵）
正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r?p 符号差 2p?r (r为二次型的秩)
√ 两个矩阵合同?它们有相同的正负惯性指数?他们的秩与正惯性指数分别相等. √ 两个矩阵合同的充分条件是：AB
√ 两个矩阵合同的必要条件是：r(A)?r(B)
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正交变换 √ f(x1,x2,,xn)?xAx经过合同变换可逆线性变换Tx?Cy化为f??diyi2标准形. 1n√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由√ 当标准形中的系数di为-1或0或1时,称为二次型的规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
?1??与唯一对角阵???????????r(A)正惯性指数?负惯性指数 唯一确定的.
√ 惯性定理：任一实对称矩阵A1?1?10????合同. ????????0??√ 用正交变换化二次型为标准形:
① 求出A的特征值、特征向量； ② 对n个特征向量正交规范化；
?y1???yTTT?1T(Cy)A(Cy)?yCACY?yCACY??2?????x?Cy?yn?C③ 构造（正交矩阵）,作变换,则
T?d1?d2??????y1??????y2???????dn??yn?
④ 新的二次型为
f??diyi21n,?的主对角上的元素
di即为A的特征值.
施密特正交规范化 ?1,?2,?3线性无关,
??1??1???(?,?) 正交化??2??2?21?1
(?,?)11??(?3,?1)(?,?)?1?32?2??3??3?(?1,?1)(?2,?2)? 单位化：?1???1? ?2?2 ?3?3 ?1?2?3 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方
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??1??1?????程，确定其自由变量. 例如：x1?x2?x3?0取?1?? 1?，?2??1?.
? 0??2?????正定二次型 x1,x2,,xn不全为零，f(x1,x2,,xn)?0.
正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.
√ f(x)?xTAx为正定二次型?（之一成立）：
① ?x?? ，xTAx?0；
② A的特征值全大于0； ③ f的正惯性指数为n； ④ A的所有顺序主子式全大于0；
⑤ A与E合同，即存在可逆矩阵C使得CTAC?E；
⑥ 存在可逆矩阵P，使得A?PTP；
???1??⑦ 存在正交矩阵C，使得CTAC?C?1AC???2???? ???n?⑧ 合同变换不改变二次型的正定性.
√ A为正定矩阵?aii?0 ； A?0. √ A为正定矩阵?AT,A?1,A?也是正定矩阵. √ A与B合同，若A为正定矩阵?B为正定矩阵
√ A,B为正定矩阵?A?B为正定矩阵，但AB,BA不一定为正定矩阵.
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?i大于0）.
（