?(1) ?1,?2是Ax??的解,?1??2也是它的解???(2) ?是Ax??的解,对任意k,k?也是它的解??齐次方程组?(3) ?,?,,?是Ax??的解,对任意k个常数?12k???? ?1,?2,,?k, ??11??2?2??k?k也是它的解????线性方程组解的性质：?(4) ?是Ax??的解,?是其导出组Ax??的解,???是Ax??的解
?(5) ?,?是Ax??的两个解,???是其导出组Ax??的解1212??(6) ?2是Ax??的解,则?1也是它的解??1??2是其导出组Ax??的解??(7) ?1,?2,,?k是Ax??的解,则? ????????也是Ax??的解???????11122kk12k??11??2?2??k?k是Ax?0的解??1??2??k?0? ??√ 设A为m?n矩阵,若r(A)?m?r(A)?r(A?)?Ax??一定有解，
当m?n时,一定不是唯一解?方程个数未知数的个数?,则该向量组线性相关.
向量维数向量个数 m是r(A)和r(A√ 判断?1,?2,?)的上限.
,?s是Ax??的基础解系的条件：
,?s线性无关； ,?s都是Ax??的解；
① ?1,?2, ② ?1,?2,③ s?n?r(A)?每个解向量中自由未知量的个数.
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若??是Ax??的一个解，?1,?,,?s是Ax??的一个解??1,?,,?s,??线性无关
√ Ax??与Bx??同解（A,B列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 两个齐次线性线性方程组Ax??与Bx??同解?r??A???r(A)?r(B). ?B??A??√ 两个非齐次线性方程组Ax??与Bx??都有解，并且同解?r???r(A)?r(B).
B???
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√ 矩阵Am?n与Bl?n的行向量组等价?齐次方程组Ax??与Bx??同解?PA?B（左乘可逆矩阵P）；p教材101 矩阵Am?n与Bl?n的列向量组等价?AQ?B（右乘可逆矩阵Q）. √ 关于公共解的三中处理办法：
① 把(I)与(II)联立起来求解；
② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；
当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设?1,?2,?3是(I)的基础解系, ?4,?5是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解?基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.
即：r(?1,?2,?3)?r(?1,?2,?3c1?4?c2?5)
当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设?1?c1?1?c2?2是(I)的通解，?2?c3?3是(II)的通解，两方程组有公共解??2?c3?3??1可由?1,?2线性表示. 即：r(?1,?2)?r(?1,?2?2?c3?3??1)
③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共
解。
标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 向量???a1,a2,,an?与???b1,b2,T,bn?的内积 (?,?)??aibi?a1b1?a2b2?i?1Tn?anbn ?与?正交 (?,?)?0. 记为：???
向量???a1,a2,2,an?的长度 ??(?,?)??ai2?a12?a2?i?1Tn2 ?an?是单位向量 ??(?,?)?1. 即长度为1的向量.
√ 内积的性质： ① 正定性：(?,?)?0,且(?,?)?0???? ② 对称性：(?,?)?(?,?)
③ 双线性：(?,?1??2)?(?,?1)?(?,?2) (?1??2,?)?(?1,?)?(?2,?) (c?,?)?c(?,?)?(?,c?)
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A的特征矩阵 ?E?A.
A的特征多项式 ?E?A??(?).
√ ?(?)是矩阵A的特征多项式??(A)?O
A的特征方程 ?E?A?0. Ax??x (x为非零列向量) ? Ax与x线性相关
√ A??1?2?n ??i?trA，trA称为矩阵A的迹. 1n√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.
√ 若A?0,则??0为A的特征值,且Ax??的基础解系即为属于??0的线性无关的特征向量.
?a1???a2??AA√ r(A)?1?一定可分解为=?b,b2,??1???an?,bn?、A2?(a1b1?a2b2??anbn)A,从而A的特征值为：
?1?trA?a1b1?a2b2?注?a,a, ○12T?anbn, ?2??3???n?0 p指南358.
,an?为A各行的公比，?b1,b2,,bn?为A各列的公比.
√ 若A的全部特征值?1,?2,,?n，f(A)是多项式,则:
① 若A满足f(A)?O?A的任何一个特征值必满足f(?i)?0 ②f(A)的全部特征值为f(?1),f(?2),
√ 初等矩阵的性质：
,f(?n)；f(A)?f(?1)f(?2)f(?n).
E(i,j)??1 E(i,j)T?E(i,j) E[i(k)]?k E[i(k)]T?E[i(k)] E[i(k)]?1?E[i(1k)] E[i(k)]*?kE[i(1k)]E[i,j(k)]?1 E[i,j(k)]T?E[j,i(k)] E[i,j(k)]?1?E[i,j(?k)] E[i,j(k)]*?E[i,j(?k)] E(i,j)?1?E(i,j) E(i,j)*??E(i,j)
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√ 设f(x)?amxm?am?1xm?1?一个多项式.
?a1x?a0，对n阶矩阵A规定：f(A)?amAm?am?1Am?1??a1A?a0E为A的
k? ?kA?a??b ?aA?bE?AT? ?1√ ?是A的特征值,则:?A?1分别有特征值. ??A?1?2?3?A? ????A2?2 ?m?m ?A
k? ?kA?a??b ?aA?bE1?1?? ?A√ x是A关于?的特征向量,则x也是?关于的特征向量. ?A?1?2?3?A???22?A? ?mA?m ??√ A,A的特征向量不一定是A的特征向量. √ A与A有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
T2mA与B相似 P?1AP?B （P为可逆矩阵） 记为：AA与B正交相似 P?1AP?B （P为正交矩阵） A可以相似对角化 A与对角阵?相似. 记为：AB
? （称?是A的相似标准形）
√ A可相似对角化?n?r(?iE?A)?ki ki为?i的重数?A恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，PAP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.设?i为对应于?i的线性无关的特征向量,则有：
?1 14
A(?1,?2,P,?n)?(A?1,A?2,,A?n)?(?1?1,?2?2,,?n?n)?(?1,?2,P??1?,?n)?????2???. ???n??注：当??0为A的重的特征值时，A可相似对角化??的重数?n?r(A)? Ax??基础解系的个数. ○ii√ 若n阶矩阵A有n个互异的特征值?A可相似对角化.
√ 若A可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算）?r(A).
√ 若A?g(?1)?g(?2)??Ak=P?kP?1，g(A)?Pg(?)P?1?P???????P?1 ??g(?n)?√ 相似矩阵的性质：
①
?E?A??E?B,从而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
注x是A关于?的特征向量,Px是B关于?的特征向量. ○00?1②trA?trB
③A?B 从而A,B同时可逆或不可逆 ④r(A)?r(B) ⑤ATBT；A?1*B?1 （若A,B均可逆）；AB*
⑥AkBk （k为整数）；f(A)f(B)，f(A)?f(B)
⑦AB,C?A?D???C???B???? D?注前四个都是必要条件. ○
√ 数量矩阵只与自己相似. √ 实对称矩阵的性质：
① 特征值全是实数,特征向量是实向量；
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