2、
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
湖北省阳新县高级中学 邹生书
如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1 已知点
是离心率为的圆锥曲线
的焦点，过点
的弦
与
的焦点所在
的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；
（2）当焦点
外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明 设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在
直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又
，所以
（1） 当焦点
内分弦
时。
。
如图1，，所以
。
图1
（2） 当焦点
外分弦
时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以
。
图2
评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 定理2 已知点
和直线是离心率为的圆锥曲线
。过点
的弦
的焦点和对应准线，焦准距（焦
的焦点所在的轴的夹角为
点到对应准线的距离）为与曲线
，则有。