编者（gaodek）按：这两个定理的证明涵盖了圆锥曲线问题的许多方法，认真体味证明步骤，对于理清解题思路是颇有帮助的。
定理1：以过圆锥曲线的焦点的直线与圆锥曲线的交点同与焦点共线的顶点的连线与该焦点对应准线的两交点为直径的圆过该焦点，且这条过焦点的直线是此圆的切线
x2y2已知：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，F?c,0?为椭圆右焦点，过F的直线交椭圆于
abP、Q两点，A是椭圆的左顶点，直线AP、AQ分别交椭圆右准线于S、T两点。
求证：以ST为直径的圆过点F，且直线PQ是圆的切线。
????????解析：欲证F在圆上，即是证：FT?FS?0。设直线FQ的方程为x?ky?c（这样设可以
不用讨论FQ?x轴的情况），设直线AT的方程为y?t?x?a?（这里直觉上可以设T点坐标或者Q点坐标，但实际做下去会发现很复杂，事实上，就算是设点，最终还是要用点的坐标表示斜率，而计算中用得较多的是斜率，故直接设斜率会简化计算过程（但并非说不能设点的坐标，当题目直接要求椭圆上的两点发生联系时，可以考虑设点的坐标））。将这两条直线方程联立可得Q点坐标??atk?c?a?c?t?,?，
?1?tk1?tk?x2y222224由点Q在椭圆2?2?1上，代入得：a?a?c?t?2abk?a?c?t?b?0?①，
ab?a2?a?c?at?a2易知准线方程为：x?，将其与直线AT的方程联立得T点坐标?,?，
cc?c??????b2?a?c?at?FT??,?
c?c?设直线AT的方程为y?s?x?a?，同理可得P点坐标??ask?c?a?c?s?,?，
?1?sk1?sk?,
S
点
坐
标
a2?a?c?s2?2ab2k?a?c?s?b4?0?2②
??b2?a?c?as??a2?a?c?as?????,?,FS??,?，
cc?c??c?由①②可知，s,t是以z为未知数的方程a2?a?c?2z2?2ab2k?a?c?z?b4?0的两根，
2b2k,s?t??所以：st??。 22aa?c??a?a?c?b4?????????b4?a?c?2a2stb4?a?c?2a2?b4于是FT?FS?2??2????2??0，故F在以ST为222??cccc?a?a?c??直径的圆上。
?a2a?a?c??s?t??2b2k另，由S、T的坐标可知ST中点E的坐标?，,?，又s?t??aa?cc2c?????a2b2k?故E?,??
c??c于是kEFb2k?c??k，而直线FQ的斜率为1（这里省略了k=0的情况，若写出直线EF和FQ的?2kbc方向向量，可证明它们相互垂直，即两直线垂直）， 故kEF?kFQ??1，即FQ?EF，即直线
PQ是圆的切线。
定理1.1 若将定理1的左顶点A改为右顶点B，会得到同样的结果，并且若设BP、BQ与
////
准线的交点分别为S、T，则S、T分别与原来的T、S重合。 证明：设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则直线AQ的方程为y?y2?x?a?，由此得x2?a?a2?a?c?ay2T?,?ccx2??/
?y1，又易得直线BP的方程为y??x?a?，由此得，?x?aa1??a2?a?c?ay1?S?,??，
cx1?a??c欲证S与T重合，即证：
/
?a?c?a?c?a?c?a?y1， y2?x2?acx1?a又P、Q都在直线x?ky?c上，故x1?ky1?c，x2?ky2?c，
代入并将上式化简得：2cky1y2?b2?y1?y2??0?（*） ，此式即最终要证明的式子。
222224联立椭圆和直线PQ的方程得：a?bky?2bcky?b?0，
???b4?2b2ck,y1?y2?2所以y1y2?2，
a?b2k2a?b2k2?b4?2b2ck2?b?2?0，从而（*）式得证。 于是2cky1y2?b?y1?y2??2ck?22222a?bka?bk2同理可证：T与S重合
/
综上所述：S/、T/分别与原来的T、S重合。
若将定理1中的长轴端点改为短轴端点，则圆过焦点的结论仍然成立，只是切线的结论不在成立
x2y2定理1.2：已知：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，F?c,0?为椭圆右焦点，过F的直
ab线交椭圆于P、Q两点，C是椭圆的下顶点，直线CP、CQ分别交椭圆右准线于H、G两点。
则：以HK为直径的圆过点F。
证明过程和定理1相似，这里省略。 仅附图如右：
对于定理1.2，不存在相应的定理1.1那样的结论 椭圆的四个顶点及对
应的圆如右图：
对于双曲线，定理1及定理1.1类似成立（实轴顶点成立）（过点F的直线与双曲线相交于两点有两种情况）； 没有类似定理1.2的结论（虚轴顶点不成立）； 对于抛物线，定理1成立。
证明的详细过程与椭圆的过程类似，这里不再赘述，仅附图如下，重要的是掌握证明和计算思想。
双
曲
线
抛 物 线
最后，定理1还可以有一些变式，比如：
（1）AP与BQ交于点S,BP与AQ交于点T，让证明： ①S、T在右准线上 （证明方法与定理1.1类似） ②以ST为直径的圆过点F，且与直线PQ且与点F。（若将长轴顶点改为短轴顶点，则类似定理1.2的结论成立）； （证明方法与定理1类似）
（2）过F作直线PQ的垂线交相应准线与E点，以E为圆心，EF为半径做圆交准线于S、T两点，让证明：
①PS和QT交于一定点（椭圆的顶点）； ②PT和QS交于一定点（椭圆的顶点）； （证明方法与定理1.1类似，但证明的时候应该首先说明两直线相交的定
点就是椭圆的顶点，然后去验证。否则，直接求交点，证明它是定点，计算量巨大）
双曲线和抛物线的情况也可以有类似的变式。
定理2：过圆锥曲线准线上一点做圆锥曲线的两条切线，则两切点所在直线过准线对应焦点
已知：过点M(m，-p)作抛物线x2?2py（p?0）的切线，切点分别为． 2