（1）当焦点
内分弦
时。如图4，
。
，
，
所以较长焦半径
，较短焦半径。
所以
（2）当焦点
外分弦
时（此时曲线为双曲线）。
。
图5
如图5， 所以
， ，
。
所以较长焦半径
，较短焦半径。
所以
。
综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。
焦点弦的弦长公式为
。
特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径
，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。当曲
线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为
。
注 由上可得，当焦点
内分弦时，有 。
当焦点外分弦时，有 。
双曲线焦点三角形的几个性质
文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质：
x2y2设若双曲线方程为2?2?1，F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：
ab性质1、若?FPF12??,则S?F1PF2?bcot2?2?；特别地，当?FPF时，有。 ?90S?b12?F1PF2222PF1PF2cos??|PF1|2?|PF2|2?|FF12|22PF1PF2cos??(|PF1|?|PF2|)2?2|PF1||PF2|?|FF12|2PF1PF2cos??(2a)2?2|PF1||PF2|?(2c)22PF1PF2(cos??1)?4(a2?c2)b2b2PF1PF2?2?1?cos?sin2?2?S?F1PF2,
b2?1?|PF1||PF2|sin? ??2sin?222sin22???cos?b2cot
22易得??90时，有S?F1PF2?b
性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切
点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。
2x2y2证明：设双曲线2?2?1的焦点三角形的内切圆且三边F1F2，PF1，PF2于点A,B,C，双
ab曲线的两个顶点为A1,A2
|PF1|?|PF2|?|CF1|?|BF2|?|AF1|?|AF2| ?|PF1|?|PF2|?2a，?|AF1|?|AF2|?2a, ?A在双曲线上，又?A在FF12上，A是双曲线与x轴的交点即点A1,A2
性质3、双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则
|BA|?e |AP|
证明：由角平分线性质得
||FB||FB|?|F2B|2c|BA||FB?1?2?1??e |AP||FP||FP||FP|?|FP|2a1212性质4、双曲线的焦点三角形PF1F2中，?PFF12??,?PF2F1??,
??e?1?cot?; 22e?1??e?1当点P在双曲线左支上时，有cot?tan?
22e?1当点P在双曲线右支上时，有tan
证明：由正弦定理知
|F2P||FP||FF12|?1?
sin?sin?sin(???)|F2P|?|FP|FF1|12|? sin??sin?sin(???)由等比定理，上式转化为
2a2c?sin??sin?sin(???)?????????????2sin?cossinsincos?cossin
csin(???)22?2?2222???asin??sin?2cos????sin???sin???sin?cos??cos?sin?2222222?分子分母同除以cos??sin，得 22??cot?1??e?122 e??tancot???22e?1tancot?122tan参考文献：
[1]熊光汉.椭圆焦点三角形的若干性质.数学通报,2004(5)