【解析】由得
所以当时，取最大值 或
求单调区间；第二
点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用步：解
得两个根
；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：
比较极值同端点值的大小．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 对于函数
，若存在
，使。
（Ⅰ）当
时，求
的不动点；
恒有两个相异的不动点，求的取值范围。
解得不动点；（Ⅱ）
恒有两个相异实根，即判别
成立，则称为
的不动点，已知函数
（Ⅱ）若对任意实数，函数【答案】（Ⅰ）-1，3；（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）解方程
式恒大于零，再根据二次函数图像知判别式小于零，解得的取值范围 试题解析： （Ⅰ）当 故当（Ⅱ）因为 所以 所以 所以
，解得
，即
恒成立，于是设
，故当
。 。
时，时，
，由题意可知
的不动点为-1，3.
恒有两个不动点，
恒有两个相异实根，
，所以
恒成立，
，得
，
恒有两个相异的不动点时，的取值范围是
18. 某校为选拔参加《CCTV-1中国谜语大会》的队员，在校内组织灯谜竞赛。规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛。现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成频率分布直方图（如下图所示）。
（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求出进入第二阶段比赛的学生人数； （Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛，现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段。抢答规则：抢到的队需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错一条扣20分。根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条谜语的概率均为，猜对第3条的概率为。若这两队抢到答题的机会均等，你作为场外观众想支持这两队中的优胜队，你会把支持票投给哪一队？并说明理由。
【答案】（Ⅰ）成绩中位数为143.6.，学生人数为18人； （Ⅱ）支持票投给甲队 【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求中位数，中位数左边和右边的长方形的面积和是相等的；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：（1）设测试成绩的中位数为，由频率分布直方图得，
，
解得：
． 2分
．
∴测试成绩中位数为
进入第二阶段的学生人数为200×（0．003＋0．0015）×20＝18人． 4分 （2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、， 则∴
， 5分 ． 6分
， 8分
∴最后抢答阶段甲队得分的期望为
∵，
，
， ，
∴
∴最后抢答阶段乙队得分的期望为∴
，
， 10分
． 12分
∴支持票投给甲队．． 13分
考点：1、利用频率分布直方图求中位数；2、离散型随机变量的数学期望. 19. 如图，已知四棱锥且
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求二面角
，
的底面为直角梯形，，是
；
的余弦值。
的中点。
，
，
，
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明面面垂直，只需利用两平面法向量垂直，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积为零得证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积求夹角，再根据二面角夹角与向量夹角关系得二面角余弦值
的
试题解析：
证明：（Ⅰ）以为坐标原点
，
所以
，，由题设知
，
长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为
，，且
与
，则是平面
，
，故
，，
内的两条相交直线，由此得
,又
（Ⅱ）在
在平面内,故平面，则存在
，使。要使，能使
。 ，连接，只要，此时，
，
，即，
，，，
上取一点，所以
，，
解得。可知当时，点坐标为
所以。由，，，所以，
故所求二面角的余弦值为。
20. 已知椭圆和直线，椭圆的离心率，直线与坐标原点的距
离为。
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知定点使以
，若直线
与椭圆相交于、两点，试判断是否存在值，
为直径的圆过定点？若存在求出这个的值，若不存在，说明理由。
；（Ⅱ）
【答案】（Ⅰ）
..................... 试题解析：（Ⅰ）由直线
，∴
，即
——①
又由，得，即，又∵，∴——②
将②代入①得，即∴所求椭圆方程是
，∴；
，，，
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线方程为则直线与椭圆的交点为
，又∵
，
，
∴，即以为直径的圆过点；
，
，
，
②当直线的斜率存在时，设直线方程为由由∴∴∵以由得
为直径的圆过点，∴
，
，∴
，
，即
，
，
，得
， ，得
或
，
，
，
∴，解得，即；
综上所述，当以21. 设函数然对数的底数）。 （Ⅰ）若
为直径的圆过定点时，直线的方程为
，曲线
在点
或.
垂直（其中为自
处的切线与直线
在区间上存在极值，求实数的取值范围；
时，不等式
。
（Ⅱ）求证：当【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）证明见解析；
；利用导数求得函数的极值
【解析】试题分析：（1）首先利用切线的斜率建立方程，求出点，极值点介于为
得原不等式成立. 试题解析： （1） 因为又据题意，得
，所以，所以
，所以
之间，由此求得的取值范围；（2）先用分析法，将原不等式等价变形
，利用导数求出左边函数的最小值和右边函数的最大值即可证