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2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第一天
福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分
一、 实数a1,a2,?,an满足a1?a2???an?0，求证：
nmax(a)?1?k?n32k??ai?ai?1?．
i?1n?12证明 只需对任意1?k?n，证明不等式成立即可． 记dk?ak?ak?1,k?1,2,?,n?1，则
ak?ak，
ak?1?ak?dk，ak?2?ak?dk?dk?1,?,an?ak?dk?dk?1???dn?1， ak?1?ak?dk?1,ak?2?ak?dk?1?dk?2,?,a1?ak?dk?1?dk?2???d1， 把上面这n个等式相加，并利用a1?a2???an?0可得
nak?(n?k)dk?(n?k?1)dk?1???dn?1?(k?1)dk?1?(k?2)dk?2???d1?0． 由Cauchy 不等式可得
(nak)2??(n?k)dk?(n?k?1)dk?1???dn?1?(k?1)dk?1?(k?2)dk?2???d1?
2?k?12n?k2??n?12????i??i???di?
i?1?i?1??i?1??n?12??n?12?n(n?1)(2n?1)?n?12????i???di????di? 6?i?1??i?1??i?1?n3?n?12????di?， 3?i?1?n所以 a?32k??ai?i?1n?1a?i1?．
2
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二、正整数a1,a2,?,a2006（可以有相同的）使得
aa1a2,,?,2005两a2a3a2006两不相等．问：a1,a2,?,a2006中最少有多少个不同的数？
解 答案：a1,a2,?,a2006中最少有46个互不相同的数．
由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故
a1,a2,?,a2006中互不相同的数大于45．
下面构造一个例子，说明46是可以取到的．
设p1,p2,?,p46为46个互不相同的素数，构造a1,a2,?,a2006如下：
p1,p1,p2,p1,p3,p2,p3,p1,p4,p3,p4,p2,p4,p1,?， p1,pk,pk?1,pk,pk?2,pk,?,pk,p2,pk,p1,?， p1,p45,p44,p45,p43,p45,?,p45,p2,p45,p1， p46,p45,p46,p44,p46,?,p46,p22,p46，
这2006个正整数满足要求．
所以a1,a2,?,a2006中最少有46个互不相同的数．
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2三、正整数m，n，k满足：mn?k?k?3，证明不定方程
x2?11y2?4m
22和 x?11y?4n
中至少有一个有奇数解(x,y)．
证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程
x2?11y2?4m ①
或有奇数解(x0,y0)，或有满足
x0?(2k?1)y0(modm) ②
的偶数解(x0,y0)，其中k是整数．
引理的证明 考虑如下表示
x?(2k?1)y x,y为整数，且0?x?2m ,0?y?m， 2??m????0,2m??1?m个表示，因此存在整数x1,x2??则共有?2m??1??????，?2????????m?y1,y2??0,?，满足(x1,y1)?(x2,y2)，且
2??x1?(2k?1)y1?x2?(2k?1)y2(modm)，
这表明
x?(2k?1)y(modm)， ③
这里x?x1?x2,y?y2?y1。由此可得
x2?(2k?1)2y2??11y2(modm)，
22故x?11y?km，因为x?2m,y?m，所以 211x?11y?4m?m?7m，
422
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于是1?k?6．因为m为奇数，x2?11y2?2m，x2?11y2?6m显然没有整数解．
（1） 若x2?11y2?m，则x0?2x,y0?2y是方程①满足②的解． （2） 若x2?11y2?4m，则x0?x,y0?y是方程①满足②的解． （3） 若x2?11y2?3m，则?x?11y??11?x?y??32?4m． 首先假设3
m，若x0(mod3),y0(mod3)，且xy(mod3)，则
22 x0?是方程①满足②的解．若x?yx?11yx?y,y0? ④ 330(mod3)，则
x?11yy?x,y0? ⑤ 33x0?是方程①满足②的解．
现在假设3m，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解
x0?2x1,y0?2y1，则
x12?11y12?m?36m??5x1?11y1??11?5y1?x1?．
因为x1,y1的奇偶性不同，所以5x1?11y1，5y1?x1都为奇数． 若x?y(mod3)，则x0?若x15x1?11y15y?x,y0?11是方程①的一奇数解． 335x?11y15y?x,y0?11是方程①的一奇数解． y1(mod3)，则x0?1332222（4）x2?11y2?5m，则52?4m??3x?11y??11?3y?x?． 当5则
x0?是方程①满足②的解．
若x??1(mod5),y??2(mod5)，或x??2(mod5),y??1(mod5)，则
x0?3x?11y3y?x,y0? ⑦ 553x?11y3y?x,y0? ⑥ 552(,od)5m时，若x??1(mod5),y??2(mod5)，或x??mm1(od)5y??，
是方程①满足②的解．
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当5m，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解
x0?2x1,y0?2y1，则
2?11y12?m, x1x12，y1(mod2)
2可得
100m??x1?33y1??11?y1?3x1?．
若 x1?y1?0(mod5)，或者 x1??1(mod5),y1??2(mod5)，或者
x1??2(mod5),y1??1(mod5)，则x0?解．
x1?33y1y?3x1,y0?1是方程①的一奇数55 若 x1??1(mod5),y1??2(mod5)，或x1??2(mod5),y1??1(mod5)，则
x0?x1?33y1y?33x1,y0?1 55是方程①的一奇数解．
引理证毕．
由引理，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解(x0,y0)．令
l?2k?1，考虑二次方程
2mx2?ly0x?ny0?1?0， ⑧
22?ly0?l2y0?4mny0?4m?ly0?x0则 x?， ?2m2m这表明方程⑧至少有一个整数根x1，即
2mx12?ly0x1?ny0?1?0， ⑨
上式表明x1必为奇数．将⑨乘以4n后配方得
?2ny0?lx1?2?11x12?4n，
22这表明方程x?11y?4n有奇数解x?2ny0?lx1,y?x1．