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2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第二天
福州 1月13日 上午8∶00～12∶30 每题21分
四、在直角三角形ABC中，?ACB?90?，△ABC 的内切圆O分
别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若?BPC?90?，求证：AE?AP?PD．
证明 设AE = AF = x，BD＝BF＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD＝n． 因为?ACP??PCB?90???PBC??PCB，所以?ACP??PBC．
APECDBFQ
延长AD至Q，使得?AQC??ACP??PBC，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，则由相交弦定理和切割线定理可得
yz?nl， ①
x2?m(m?n)． ②
因为?ACP∽?AQC，所以
ACAP?，故 AQAC(x?z)2?m(m?n?l)． ③
在Rt △ACD和Rt △ACB中，由勾股定理得
(x?z)2?z2?(m?n)2， ④ (y?z)2?(z?x)2?(x?y)2． ⑤
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③－②，得 z2?2zx?ml， ⑥
yzn?， 2z?2zxmyzm?n?所以 1?2， ⑦
①÷⑥，得
z?2zxm②×⑦，结合④，得 x2?x2yzz2?2zx?(m?n)2?(x?z)2?z2， 整理得
x2yz?2x?2z(x?z)． 又⑤式可写为 x?z?2xyy?z， 由⑧，⑨得
x4zz?2x?y?z． 又⑤式还可写为 y?z?2xzx?z， 把上式代入⑩，消去y?z，得
3x2?2xz?2z2?0，
解得 x?7?13z， 代入○11得， y?(27?5)z， 将上面的x，y代入④，得
m?n?2(7?1)3z， 结合②，得 m?x2m?n?7?16z，
从而 n?7?12z， 所以，x?m?n，即 AE?AP?PD．
⑧ ⑨ ⑩ ○11 免注册，全免费，无限资源无限下载----------------------------------------嘉兴数学网欢迎您 www.jxsxjx.com
1五、实数列?an?满足：a1?，
21ak?1??ak?，k?1,2,?．
2?ak证明不等式
nn?????1n?a1?a2???an??1??1?1??1?1??1 ???．???????2(a?a???a)naaa???1??2??n?n?12?证明 首先，用数学归纳法证明：0?an?n?1时，命题显然成立．
1,n?1,2,?． 2假设命题对n(n?1)成立，即有0?an?设f(x)??x?1?,x??0,2?x?1． 21?，则f(x)是减函数，于是 2??1, 2an?1?f(an)?f(0)?11 an?1?f(an)?f()??0，
26即命题对n＋1也成立．
原命题等价于
??1???1??1???nn?1?1??1?1??． ????????2?a?a???a????aaaa?a???an??12n?12??1??2??n?1?1??1?设f(x)?ln??1?,x??0,?，则f(x)是凸函数，即对0?x1,x2?，有
2?x??2?nn?x?x?f?x1??f?x2?． f?12??22???x?x?f?x1??f?x2?事实上，f?12??等价于
2?2??2??1??1??1??1?1??????， x?xxx?12??1??2??2?x1?x2?2?0．
所以，由Jenson 不等式可得
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?x1?x2???xn?f?x1??f?x2????f?xn?， f???nn??n???1??1n即 ??1????1???a?a???aa2n?1??a2?1?另一方面，由题设及Cauchy不等式，可得
??11??????an??1． ???1?ai???i?1i?1nn1?n
ai?ai?1n2?n?i?1?n2an?1?a1?2?aii?1n?(a?aii?1n?n
)???n?n2?n?n?n?n?1?，
?2a?2?ai?i??i?1?i?1?所以
?(1?ai?1ni?ai?1n)?i???n?n??1?， nn?ai?2a??i???i1??i1?nn??n故 ??a?a???an??12n???(1?a1)?(1?a2)???(1?an)?n?1?? ?2?a?a???a?????a1?a2???an12n??????1??1??1???1???1????1?， ?a1??a2??an?从而原命题得证．
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六、设X是一个56元集合．求最小的正整数n，使得对X的任意15个子集，只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n，则这15个子集中一定存在3个，它们的交非空．
解 n的最小值为41．
首先证明n?41合乎条件．用反证法．假定存在X的15个子集，它们中任何7个的并不少于41个元素，而任何3个的交都为空集．因每个元素至多属于2个子集，不妨设每个元素恰好属于2个子集（否则在一些子集中添加一些元素，
?2?56?上述条件仍然成立），由抽屉原理，必有一个子集，设为A，至少含有??1?15??＝8个元素，又设其它14个子集为A1,A2,?,A14．考察不含A的任何7个子集，
7都对应X中的41个元素，所有不含A的7－子集组一共至少对应41C14个元素．另
一方面，对于元素a，若a?A，则A1,A2,?,A14中有2个含有a，于是a被计算
77了C14次；若a?A，则A1,A2,?,A?C124177中有一个含有a，于是a被计算了C14?C13次，于是
7777741C14?(56?A)(C14?C12)?A(C14?C13)
7777?56(C14?C12)?A(C13?C12) 7777?56(C14?C12)?8(C13?C12)，
由此可得196?195，矛盾．
其次证明n?41．
用反证法．假定n?40，设X??1,2,?,56?，令
Ai??i,i?7,i?14,i?21,i?28,i?35,i?42,i?49?,i?1,2,?,7， Bj??j,j?8,j?16,j?24,j?32,j?40,j?48?,j?1,2,?,8．
?,7),Ai?Aj?0(1?i?j?7)显然，Ai?8(i?1,2,，Bj?7(j?1,2,?,8)，Bi?Bj?0(1?i?j?8)，Ai?Bj?1(1?i?7,1?j?8)，于是，对其中任何3个
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子集，必有2个同时为Ai，或者同时为Bj，其交为空集．
对其中任何7个子集Ai1,Ai2,?,Ais,Bj1,Bj2,?,Bjt(s?t?7)，有
Ai1?Ai2???Ais?Bj1?Bj2???Bjt ?Ai1?Ai2???Ais?Bj1?Bj2???Bjt?st
?8s?7t?st?8s?7(7?s)?s(7?s)
?(s?3)2?40?40，
任何3个子集的交为空集，所以n?41．
综上所述，n的最小值为41．