10．（2015?揭阳校级模拟）已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．
（Ⅰ）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（Ⅱ）若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式即可求这3名学生选择的选修课互不相同的概率； （Ⅱ）求出随机变量的概率，即可求出对应的分布列和期望．
3
【解答】解：（I） 3名学生选择的选修课所有不同选法有4=64种； …（2分）
各人互不相同的选法有种，互不相同的概率：； …（4分）
（II） 选修课A被这3名学生选修的人数X：0，1，2，3，…（5分） P（x=0）=
=
，P（x=1）=
=
P（x=2）=
=
，P（x=3）=
=
，…（9分）
所以X的分布列为 X 0 P …（10分） 数学期望EX=0×
+1×
1 2 3 +2×+3×=．…（12分）
【点评】本题主要考查古典概率的计算以及随机变量的分布列和期望的计算，考查学生的计算能力． 11．（2015?德州二模）交通指数是拥堵的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市指挥中心选取了市区20个路段，依据其数据绘制的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）在这20个路段中，随机选取了两个路段，求这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率；
（Ⅱ）从这20个路段中随机抽取3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
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【专题】应用题；概率与统计． 【分析】（1）由频率分布直方图可知底×高=频率，频率×20为路段个数，求得严重拥堵的路段个数，运用古典概率计算即可得到；
（2）由题意知X为0，1，2，3，求出相应的概率，由此求出X的分布列及期望 【解答】解：（Ⅰ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.10+0.05=0.15， 则20个路段中出现严重拥堵的路段有0.15×20=3，概率计算 记事件B“这两个路段至少有一个未出现严重拥堵”， 则P（）=
=
，
即有P（B）=1﹣P（）=1﹣=；
；
这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率为（2）X的可能取值为0，1，2，3． P（X=0）=
=
，P（X=1）=
=
，
P（X=2）=∴X的分布列为： X 0 P ∴EX=0×
+1×
=，P（X=3）==，
1 +3×
=
．
2 3 +2×
【点评】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，关键是正确运用公式．属于中档题． 12．（2015?甘肃一模）某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X（单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立．
（Ⅰ）求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；
（Ⅱ）供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系： 40≤X≤60 月洒水量 20＜X＜40 X＞60 2 3 供水站运行的最多数量 1 若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？
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【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】应用题；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）分别考虑20＜X＜40，40≤X≤60，X＞60，求出它们的概率，再由二项分布特点，即可得到所求概率；
（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，分别考虑①修建一处供水站的情形，②修建两处供水站的情形，③修建三处供水站情形，求出概率计算期望，即可得到所求．
【解答】解：（Ⅰ）依题意可得P1=P（20＜X＜40）=P2=P（40≤X≤60）=P3=P（X＞60）=
=， =，
=，
由二项分布可得，在未来三个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为 P=
（1﹣P3）+
3
（1﹣P3）?P3=（）+3×（）×=
；
232
，
至多有1个月的洒水虽超过60的概率为
（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，
①修建一处供水站的情形，由于月洒水量总大于20，故一处供水站运行的概率为1， 对应的月利润为Y=12000，E（Y）=12000×1=12000（元）；
②修建两处供水站的情形，依题意当20＜X＜40，一处供水站运行，此时Y=12000﹣6000=6000，
P（Y=6000）=P（20＜X＜40）=P1=，当X≥40，两处供水站运行，此时Y=12000×2=24000， 因此P（Y=24OOO）=P（X≥40）=P2+P3=，由此得Y的分布列为 Y P 6000 24000 则E（Y）=6000×+24000×=18000（元）；
③修建三处供水站情形，
依题意可得当20＜X＜40时，一处供水站运行，此时Y=12000﹣12000=0，由此 P（Y=0）=P（40＜X＜80）=P1=，
当40≤X≤60时，两处供水站运行，此时Y=12000×2﹣6000=18000， 由此P（Y=18000）=P（40≤X≤60）=P2=，
当X＞60时，三处供水站运行，此时Y=12000×3=36000， 由此P（Y=36000）=P（X＞60）=P3=， 由此的Y的分布列为 Y 0
18000 第23页（共42页）
36000 P 由此E（Y）=0×+18000×+36000×=15000（元），
欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建两处供水站．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，同时考查二项分布的特点和概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 13．（2012?昌平区一模）某公司要将一批海鲜用汽车运往A地，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，可多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元．为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．
（Ⅰ）记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ（万元），求ξ的分布列和数学期望Eξ； （Ⅱ）假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ （注：毛利润=销售收入﹣运费）．
【考点】离散型随机变量及其分布列；实际推断原理和假设检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】应用题；图表型． 【分析】（Ⅰ）求走公路1时公司获得的毛利润为ξ的分布列和数学期望Eξ．因为在不堵车的时候毛利润为销售收入减去运费，堵车的情况会推迟一天到达，故毛利润为销售收入减去运费再减去少获得得1万元．两种利润是由堵车是否决定的，故概率为是否堵车的概率．根据分析即可求得分布列，然后根据期望公式求得即可．
（Ⅱ）求选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多，可以同（Ⅰ）中的解法一样先求出走公路2时获得的毛利润为η的期望值，然后比较两个期望值得大小，选择较大的一个即是可能获得的利润最多的情况． 【解答】解：（1）汽车走公路1时，不堵车时公司获得的毛利润ξ=30﹣1.6=28.4万元 堵车时公司获得的毛利润ξ=30﹣1.6﹣1=27.4万元 ∴汽车走公路1是获得的毛利润ξ的分布列为
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∴Eξ=28.4×+27.4×=28.3万元．
（2）设汽车走公路2时获得的毛利润为η
不堵车时获得的毛利润η=30﹣0.8+1=30.2万元， 堵车时获得的毛利润η=30﹣0.8﹣2=27.2万元， ∴汽车走公路2时获得的毛利润ξ的分布列为
∴Eη=30.2×+27.2×=28.7万元
∵Eξ＜Eη．
故选择公路2可能获利更多． 【点评】此题主要考查离散型随机变量的分布和期望在实际中的应用问题．在此类选择可能获得利润最大的问题中，一般都是通过求它们的利润的期望值做比较即可．对学生实际应用能力要求比较高． 14．（2009?开福区校级三模）为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如表：
某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点， （1）求这三人恰有两人消费额大于或等于300元的概率； （2）求这三人消费总额大于或等于1300元的概率；
（3）设这三人中消费额大于300元的人数为X，求X的分布列．
【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；综合题． 【分析】（1）这三人恰有两人消费额大于300元，包括三种情况这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（2）这三人消费总额大于或等于1300元，包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率做出这三种情况的概率，求和得到结果．
（3）这三人中消费额大于300元的人数为X，则X的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，写出分布列． 【解答】解：（1）这三人恰有两人消费额大于或等于300元，包括三种情况这三种情况是互斥的，三个人消费大于300的概率分别是0.6，0.7，0.7
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