1.【2017天津，理18】已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n?N?)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2?b3?12,b3?a4?2a1，S11?11b4. （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nb2n?1}的前n项和(n?N?). 【答案】 （1）an?3n?2.bn?2n.（2）Tn?【解析】
3n?2n?18?4?. 33
（II）解：设数列{a2nb2n?1}的前n项和为Tn，
由a2n?6n?2， b2n?1?2?4n?1，有a2nb2n?1??3n?1??4，
n故Tn?2?4?5?4?8?4????3n?1??4，
23n4Tn?2?42?5?43?8?44????3n?4??4n??3n?1??4n?1，
上述两式相减，得?3Tn?2?4?3?4?3?4???3?4??3n?1??423nn?1
?12?1?4n?1?4???3n?2??4n?1?8.3n?2n?18?4?. 33??4??3n?1??4n?1
得Tn?所以，数列{a2nb2n?1}的前n项和为
3n?2n?18?4?. 332.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k,若数列{an}满足an?k?an?k?1???an?1?an?1???an?k?1?an?k
?2kan对任意正整数n(n?k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”. （1）证明：等差数列{an}是“P(3)数列”;
（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析
（2）数列?an?既是“P?2?数列”，又是“P?3?数列”，因此， 当n?3时， an?2?an?1?an?1?an?2?4an，①
当n?4时， an?3?an?2?an?1?an?1?an?2?an?3?6an.② 由①知， an?3?an?2?4an?1? ?an?an?1?，③
an?2?an?3?4an?1? ?an?1?an?，④
将③④代入②，得an?1?an?1?2an，其中n?4，
所以a3,a4,a5,?是等差数列，设其公差为d'.
在①中，取n?4，则a2?a3?a5?a6?4a4，所以a2?a3?d'， 在①中，取n?3，则a1?a2?a4?a5?4a3，所以a1?a2?2d'， 所以数列{an}是等差数列.
3.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)?Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2?Pn+1，求由该折线与直线y=0，x?x1,x?xn?1所围成的区域的面积Tn.
(2n?1)?2n?1. 【答案】(I)xn?2.（II）Tn?2n?1
（II）过Pn?1向x轴作垂线，垂足分别为Q1,Q2,Q3,??Qn?1, 1,P2,P3,??P由(I)得xn?1?xn?2n?2n?1?2n?1. 记梯形PnPn?1Qn?1Qn的面积为bn. 由题意bn?所以
(n?n?1)n?1?2?(2n?1)?2n?2， 2Tn?b1?b2?b3???+bn
?101=3?2?5?2?7?2???+(2n?1)?2n?3?(2n?1)?2n?2 ①
又2Tn?3?20?5?21?7?22???+(2n?1)?2n?2?(2n?1)?2n?1 ② ①-②得
?Tn?3?2?1?(2?22?......?2n?1)?(2n?1)?2n?1
32(1?2n?1)?(2n?1)?2n?1. =?21?2(2n?1)?2n?1. 所以Tn?24.【2016高考天津理数】已知?an?是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n?N?,bn是an和an?1的等差中项.
(Ⅰ)设cn?bn?1?bn,n?N，求证：?cn?是等差数列；
22*(Ⅱ)设a1?d,Tn?
???1?k?12nnbn,n?N，求证：?2*11?2. 2dk?1Tkn【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】
222（Ⅰ）证明：由题意得bn?anan?1，有cn?bn?1?bn?an?1an?2?anan?1?2dan?1，
因此cn?1?cn?2d?an?2?an?1??2d2，所以?cn?是等差数列.
222222（Ⅱ）证明：Tn??b1?b2??b3?b4????b2n?1?b2n
???????2d?a2?a4???a2n?n?a2?a2n?2?2d2n?n?1?,?2d?n
11n11n?11?1?1?1所以??. ????1????2?2??2?2T2dkk?12dkk?12dn?12d?????k?1kk?1k?1?5.【2016高考新课标3理数】已知数列{an}的前n项和Sn?1??an，其中??0． （I）证明{an}是等比数列，并求其通项公式； （II）若S5?31 ，求?． 32【答案】（Ⅰ）an?【解析】
1?n?1()；（Ⅱ）???1． 1????1（Ⅰ）由题意得a1?S1?1??a1，故??1，a1?1，a1?0． 1??由Sn?1??an，Sn?1?1??an?1得an?1??an?1??an，即an?1(??1)??an． 由a1?0，??0得an?0，所以
an?1??. an??1因此{an}是首项为
1?1?n?1()． ，公比为的等比数列，于是an?1????11????1（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn?1?(解得???1．
???1)n，由S5??5131?531)?)?得1?(，即(，
3232??132??16.【2016高考浙江理数】设数列?an?满足an?（I）证明：an?2n?1an?1?1，n???． 2?a1?2?，n???；
?3???（II）若an???，n??，证明：an?2，n??．
?2?【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析． 【解析】（I）由an?n1an?1?1得an?an?1?1，故
22anan?11???，n??， nn?1n222所以
?a1a2??a2a3??an?1an??n??1?2???2?3???????n?1?n? 1222??22?2??2?2a1an?111?????? 12n?1222?1，
因此
an?2n?1?a1?2?．