易错起源1、分组转化求和
例1、等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式；
第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)lnan，求数列{bn}的前n项和Sn.
n
(2)因为bn＝an＋(－1)lnan ＝2·3＝2·3＝2·3
n－1
n＋(－1)ln(2·3
nnn－1
)
n－1
＋(－1)[ln 2＋(n－1)ln 3] ＋(－1)(ln2－ln3)＋(－1)nln3，
n－1
nnn－1
所以Sn＝2(1＋3＋?＋3(－1)n]ln3. 当n为偶数时， 1－3nSn＝2×＋ln3
1－32＝3＋ln3－1；
2当n为奇数时，
nnn)＋[－1＋1－1＋?＋(－1)]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋?＋
nn1－3?n－1－n?ln3
Sn＝2×－(ln2－ln3)＋??1－3?2?
n＝3－
nn－1
2
ln3－ln2－1.
n??
综上所述，S＝?n－1
3－??2ln3－ln2－1，n为奇数.
nn3＋ln3－1， n为偶数，
2
n
【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N. (1)证明：an＋2＝3an； (2)求Sn.
(1)证明 由条件，对任意n∈N， 有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，
因而对任意n∈N，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3. 两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1， 即an＋2＝3an，n≥2. 又a1＝1，a2＝2，
所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1， 故对一切n∈N，an＋2＝3an. (2)解 由(1)知，an≠0，所以
*
*
*
*
an＋2
＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3等比数列；数ann－1
列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列．因此a2n－1＝3于是S2n＝a1＋a2＋?＋a2n
＝(a1＋a3＋?＋a2n－1)＋(a2＋a4＋?＋a2n) ＝(1＋3＋?＋3
n－1
，a2n＝2×3
n－1
.
)＋2(1＋3＋?＋3)
n－1
)
＝3(1＋3＋?＋33?3－1?＝. 2
nn－1
3?3－1?n－1
从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3
23n－2
＝(5×3－1)． 2
n?3?3(5?32?1),n是奇数，??Sn??2n?3(32?1)，n是偶数.??2综上所述，
n【名师点睛】
在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式． 【锦囊妙计，战胜自我】
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． 易错起源2、错位相减法求和
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝2,3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)3Sn－3Sn－1＝5an－an－1(n≥2)， ∴2an＝an－1，又∵a1＝2，
1
∴{an}是首项为2，公比为的等比数列，
21n－11n－22－n∴an＝2×()＝()＝2.
22
an1
＝， an－12
【变式探究】已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N)．
*
(1)求an；
(2)若bn＝2·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)∵4Sn＝(an－1)(an＋3)＝an＋2an－3， ∴当n≥2时，4Sn－1＝an－1＋2an－1－3， 两式相减得，4an＝an－an－1＋2an－2an－1， 化简得，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵{an}是正项数列，∴an＋an－1≠0，
∴an－an－1－2＝0，对任意n≥2，n∈N都有an－an－1＝2， 又由4S1＝a1＋2a1－3得，a1－2a1－3＝0， 解得a1＝3或a1＝－1(舍去)，
∴{an}是首项为3，公差为2的等差数列， ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. (2)由已知及(1)知，
2
2
*
2
22
2
nbn＝(2n＋1)·2n，
Tn＝3·21＋5·22＋7·23＋?＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①
2Tn＝3·2＋5·2＋7·2＋?＋(2n－1)·2＋(2n＋1)·2
1
2
3
4
2
3
4
nn＋1
，②
n＋1
②－①得，Tn＝－3×2－2(2＋2＋2＋?＋2)＋(2n＋1)·2＋1)·2
n＋1
n4?1－2?
＝－6－2×＋(2n1－2
n－1
n＋1
＝2＋(2n－1)·2【名师点睛】
.
(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证． 【锦囊妙计，战胜自我】
错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． 易错起源3、裂项相消法求和
1*例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a22－3a7＝2，且，S2－3，S3成等比数列，n∈N.
a2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝
2
anan＋2
，数列{bn}的前n项和为Tn，若对于任意的n∈N，都有8Tn<2λ＋5λ成立，
*2
求实数λ的取值范围．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
a22－3a7＝2，??由?12
?S2－3?＝·S3?a2?
???a1＋21d?－3?a1＋6d?＝2，??
??2a1＋d－3?·?a1＋d?＝3a1＋3d，???－2a1＋3d＝2，即????a1＋d??2a1＋d－6?＝0，
??a1＝2，解得?
?d＝2?
2
a＝－，??5或?2
d＝??5.
1
22
当a1＝－，d＝时，S2－3＝
5517
－没有意义， 5
∴a1＝2，d＝2，此时an＝2＋2(n－1)＝2n.
【变式探究】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S5＝15，若?9
，则m的值为( ) 10
A．8B．9C．10D．11
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝log2的正整数n有( ) A．最小值63
B．最大值63
1?
?的前m项和为
?an·an＋1?
?
n＋1*
(n∈N)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立n＋2