计数方法与技巧综合
知识框架图 7-6-1归纳法 7-6-2整体法 7 计数综合 7-6 计数方法与技巧综合 7-6-3对应法 7-6-3-1图形中的对应关系 7-6-3-2数字问题中的对应关系 7-6-3-3对应与阶梯型标数法 7-6-3-4不完全对应关系 7-6-4递推法
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．
教学目标
例题精讲
模块一、归纳法
从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系． 【例 1】 （难度等级※※）一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?
【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：
由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将
平面分成2+2+3+4+…+n=
n?n?1?2+1个部分．
方法二：如果已有k条直线，再增加一条直线，这条直线与前k条直线的交点至多k个，因而至多
被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分．
7-6.计数方法与技巧综合.题库 教师版 page 1 of 17 一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k=个部分．
k?k?1?2+1个部分，所以五条直线可以分平面为16
【巩固】（难度等级※※）平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内
部分成几部分？ 【解析】 假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k＝0，1，2，……
a0＝1
a1=a0+1＝2 a2=a1＋2=4 a3=a2＋3=7 a4=a3+4＝11 ……
故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分
【例 2】 （难度等级 ※※）平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？ 【解析】 先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k个圆最多能将平面分割成ak个部分．
121243612347856879451231112131410
从图中可以看出，a1?2，a2?4?2?2?1，a3?8?4?2?2，a4?14?8?2?3，…… 可以发现ak满足下列关系式：ak?ak?1?2?k?1?．
实际上，当平面上的(k?1)个圆把平面分成ak?1个区域时，如果再在平面上出现第k个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k个圆不能通过平面上前?k?1?个圆之间的交点．这样，第k个圆与前面?k?1?个圆共产生2?(k?1)个交点，如下图：
这2?(k?1)个交点把第k个圆分成了2?(k?1)段圆弧，而这2?(k?1)段圆弧中的每一段都将所在的
7-6.计数方法与技巧综合.题库 教师版 page 2 of 17 区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2?(k?1)个部分．所以，ak?ak?1?2?k?1?． 那么，a10?a9?2?9?a8?2?8?2?9?a7?2?7?2?8?2?9
???
?a1?2?1?2?2?...?2?7?2?8?2?9?2?2??1?2?...?7?8?9??92．
故10个圆最多能将平面分成92部分．
【例 3】 10个三角形最多将平面分成几个部分？ 【解析】 设n个三角形最多将平面分成an个部分．
n?1时，a1?2n?2；
时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有
个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的
每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即a2?2?2?3．
n?3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4?3?12（个）交点，从而平面也增加了122?3?6（个）交点．这6个部分，
即：a3?2?2?3?4?3．
…… 一般地，第n个三角形与前面?n?1?个三角形最多有2?n?1??3个交点，从而平面也增加2?n?1??3个
2部分，故an?2?2?3?4?3???2?n?1??3?2???2?4???2?n?1????3?3n?3n?2；
特别地，当n?10时，a10?3?102?3?10?2?272，即10个三角形最多把平面分成272个部分．
【例 4】 （难度等级※※）一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？
【解析】 一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，
这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分． 同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标
有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．
第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小
线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分． 所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．
【小结】n个图形最多可把平面分成部分数：
7-6.计数方法与技巧综合.题库 教师版 page 3 of 17 直线：1?n??n?1?2；
圆：2?n??n?1?； 三角形：2?3?n??n?1? ； 长方形：2?4?n??n?1?．
【例 5】 （难度等级※※）在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分? 【解析】 先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，
成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个
部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平面分成8个部分．
同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．
再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．
【例 6】 在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片？
【解析】 将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是圆形，所以球面上的切割线是封闭的圆周，考虑
每一次切割能增加多少瓜皮片．当切1刀时，瓜皮被切成两份，当切第2刀时，由于切割线相交，所
以瓜皮被切成4分，……，切第n次时，新增加的切割线与原来的切割线最多有2?n?1?个交点．这些交点将第n条切割线分成2?n?1?段，也就是说新增加的切割线使瓜皮数量增加了2?n?1?，所以在西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成1?1?2?1?2?2?2?3?2?4?2?5?32片．
【例 7】 在一大块面包上切6刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任
何方向） 【解析】 题目相当于6个平面能将空间划分为多少个部分．
通过找规律来寻找递推关系，显然的1个平面能将空间划分成2块，2个平面能将空间划分成4 块，
3个平面能将空间划分成8个平面，当增加到第四个平面时，第四个平面这能将原来空间中的8个部
分中的其中几个划分．如图：
7-6.计数方法与技巧综合.题库 教师版 page 4 of 17 注意到第四个平面与其他三个平面相交形成3条直线，这三条直线将第四个平面分割成7个部分，而每一部分将原来三个平面划分的8个空间中的7个划分成两份，所以4个平面能将空间划分成
8?7?15个部分．
同样的第五个平面与前四个平面分别相交成4条直线，这四条直线能将第5个平面分割成1?1?2?3?4?11个部分，每一部分都划分原空间中的某一区域，所以第五个平面能使空间中的区域增加到15?11??26个部分．
当增加到6个平面时，第六个平面共被划分成1?1?2?3?4?5?16个部分，所以第6个平面能将空间中的区块数增加到26?16?42个部分． 所以6刀能将面包切成42块．
模块二、整体法
解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．
【例 8】 （难度等级 ※※※）一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为
顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?
【解析】 方法一：归纳法
如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．
不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996
个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀． 方法二：整体法．
我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个
三角形．
2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的
三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．
本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．
【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角
形？
【解析】 整体法．100个点每个点周围有360度，三角形本身内角和为180度，所以可以分成
?360?100?180??180?201个小三角形．
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