下一次传球都可以将球传到甲的手中，故有an?1种．所以an?an?1?4n．
由于a1?0，所以a2?41?a1?4，a3?42?a2?12，a4?43?a3?52．即经过4次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有52种．
【例 29】 (2009年清华附中考题)设A、E为正八边形ABCDEFGH的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除
顶点E外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A出发恰好跳10次后落到E的方法总数为 种．
【解析】 可以使用递推法．
回到A 跳到B或H 跳到C或G 跳到D或F 停在E 1步 1 2步 2 1 3步 3 1 4步 6 4 2 5步 10 4 6步 20 14 8 7步 34 14 8步 68 48 28 9步 116 48
其中，第一列的每一个数都等于它的上一行的第二列的数的2倍，第二列的每一个数都等于它的上一行的第一列和第三列的两个数的和，第三列的每一个数都等于它的上一行的第二列和第四列的两个数的和，第四列的每一个数都等于它的上一行的第三列的数，第五列的每一个数都等于都等于它的上一行的第四列的数的2倍．这一规律很容易根据青蛙的跳动规则分析得来． 所以，青蛙第10步跳到E有48?2?96种方法．
【巩固】在正五边形ABCDE上，一只青蛙从A点开始跳动，它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，
一旦跳到D点上就停止跳动．青蛙在6次之内(含6次)跳到D点有 种不同跳法．
ABE
【解析】 采用递推的方法．列表如下：
跳到A 跳到B 跳到C 停在D 跳到E 1步 1 1 2步 2 1 1 3步 3 1 2 4步 5 3 2 5步 8 3 5 6步 13 8 5
其中，根据规则，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到D点上就停止跳动．所以，每一步跳到A的跳法数等于上一步跳到B和E的跳法数之和，每一步跳到B的跳法数等于上一步跳到A和C的跳法数之和，每一步跳到C的跳法数等于上一步跳到B的跳法数，每一步跳到E的跳法数等于上一步跳到A的跳法数，每一步跳到D的跳法数等于上一步跳到C或跳到E的跳法数． 观察可知，上面的递推结果与前面的枚举也相吻合，所以青蛙在6次之内(含6次)跳到D点共有1?1?2?3?5?12种不同的跳法．
7-6.计数方法与技巧综合.题库 教师版 page 16 of 17 CD 【例 30】 (2006年“迎春杯”中年级组决赛)有6个木箱，编号为1，2，3，??，6，每个箱子有一把钥匙，
6把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种．
【解析】 (法1)分类讨论．如果1，2号箱中恰好放的就是1，2号箱的钥匙，显然不是“好”的方法，所以
“好”的方法有两种情况：
⑴1，2号箱的钥匙恰有1把在1，2号箱中，另一箱装的是3～6箱的钥匙． ⑵1，2号箱的钥匙都不在1，2号箱中．
对于⑴，从1，2号箱的钥匙中选1把，从3～6号箱的钥匙中选1把，共有2?4?8(种)选法，每一种选法放入1，2号箱各有2种放法，共有8?2?16(种)放法．
不妨设1，3号箱的钥匙放入了1，2号箱，此时3号箱不能装2号箱的钥匙，有3种选法，依次类推，可知此时不同的放法有3?2?1?6(种)．
所以，第⑴种情况有“好”的方法16?6?96(种)．
对于⑵，从3～6号箱的钥匙中选2把放入1，2号箱，有4?3?12(种)放法．不妨设3，4号箱的钥匙放入了1，2号箱．
此时1，2号箱的钥匙不可能都放在3，4号箱中，也就是说3，4号箱中至少有1把5，6号箱的钥匙．
如果3，4号箱中有2把5，6号箱的钥匙，也就是说3，4号箱中放的恰好是5，6号箱的钥匙，那么1，2号箱的钥匙放在5，6号箱中，有2?2?4种放法；
如果3，4号箱中有1把5，6号箱的钥匙，比如3，4号箱中放的是5，1号箱的钥匙，则只能是5号箱放6号箱的钥匙，6号箱放2号箱的钥匙，有2?1?2种放法；
同理，3，4号箱放5，2号箱或6，1号箱或6，2号箱的钥匙，也各有2种放法． 所以，第⑵种情况有“好”的放法12??4?2?2?2?2??144(种)．
所以“好”的方法共有96?144?240(种)．
(法2)递推法．设第1，2，3，…，6号箱子中所放的钥匙号码依次为k1，k2，k3，…，k6．当箱子数为n(n?2)时，好的放法的总数为an．
当n?2时，显然a2?2(k1?1，k2?2或k1?2，k2?1)．
当n?3时，显然k3?3，否则第3个箱子打不开，从而k1?3或k2?3，如果k1?3，则把1号箱子和3号箱子看作一个整体，这样还是锁着1，2两号钥匙，撬开1，2两号箱子，那么方法有a2种；当k2?3也是如此．于是n?2时的每一种情况对应k1?3或k2?3时的一种情况，这样就有a3?2a2?4．
当n?4时，也一定有kn?n，否则第n个箱子打不开，从而k1、k2、……、kn?1中有一个为n，不论其中哪一个是n，由于必须要把该箱子打开才能打开n号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n号箱子看作1个箱子，于是还是锁着k1、k2、……、kn?1这?n?1?把钥匙，需要撬开1，2两号箱子，所以每种情况都有an?1种．所以an??n?1?an?1．
所以，a6?5a5?5?4a4???5?4?3?2a2?2?5!?240，即好的方法总数为240种．
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