分类讨论思想在解题中的应用
一、复习策略
分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位．
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．
1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点 ⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；
⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察； ⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧； ⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关． 2. 分类讨论的思想的本质
分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略． 3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤 ⑴确定讨论对象和确定研究的区域；
⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； ⑷归纳总结，整合得出结论．
4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：
⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等； ⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等； ⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； ⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；
⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等． 5. 分类讨论思想的类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的． 二、典例剖析
例1、（2007·上海）直角坐标系直角三角形ABC中，若
中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在，则k的可能值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 解析：
由（2，1），（3，k），得（1，k－1），
由于为直角三角形，则，，都可能为直角，
由向量数量积为0，分别有或或，
解得或．
答案：B 点评：
本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的．
例2、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
解析：
连续掷三次骰子出现点数的方法总数为差为1或－1的等差数列有
种，其中公差为0的等差数列有6个，公
个，所以
个，公差为2或－2的等差数列有
满足条件中的概率为．
答案：B 点评：
本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数．
例3、（2007·陕西）已知椭圆右焦点的距离为
．
的离心率为，短轴一个端点到
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为面积的最大值． 分析：
，求
圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系． 解：
（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，∴所求椭圆方程为．
（2）设，．
①当轴时，．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．
．
当且仅当
．
，即时等号成立．当时，，综上所述
∴当|AB|最大时，点评：
面积取最大值．
本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系．对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因．
例4、（2007·海南、宁夏）设函数．
（1）若当x=－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于．
分析：
函数的极值、单调性是函数的重要性质．极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题． 解：
（1），依题意有，故．
从而．的定义域为．