2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
数学（理工农医类）
本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数z?1?i，z为z的共轭复数，则zz?z?1? (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数y?2x?x?0?的反函数为
x2x2 (A)y??x?R? (B) y??x?0?
44 (C)y?4x2?x?R? (D) y?4x2?x?0? 3.下面四个条件中，使a?b成立的充分而不必要的条件是
2233 (A) a?b?1 (B) a?b?1 (C)a?b (D) a?b
4.设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2,Sk?2?Sk?24，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 5.设函数f?x??cos?x???0?，将y?f?x像与原图像重合，则?的最小值等于 (A)
?的图像向右平移3个单位长度后，所得的图
?1 (B) 3 (C) 6 (D) 9 36.已知直二面角??l??，点A??,AC?l,C为垂足，B??,BD?l,D为垂足，若
AB?2,AC?BD?1，则D到平面ABC的距离等于
(A)
236 (B) (C) (D) 1 233
7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种
8.曲线y?e2x?1在点?0,2?处的切线与直线y?0和y?x围成的三角形的面积为 (A)
112 (B) (C) (D) 1 3239.设f?x?是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f?x??2x?1?x?，则f?? (A) ??5??? ?2?1111 (B) ? (C) (D) 2442210.已知抛物线C：y?4x的焦点为F，直线y?2x?4与C交于A、B两点，则cos?AFB? (A)
4334 (B) (C) ? (D) ? 5555?11.已知平面?截一球面得圆M，过圆心M且与?成60二面角的平面?截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为4?，则圆N的面积为
(A) 7? (B) 9? (C) 11? (D) 13?
????????1?????b??,a?c,b?c?60，则c的最大值等于 12. 设向量a,b,c满足a?b?1,a?2 (A) 2 (B)
3 (C) 2 (D) 1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. 1?x??20的二项展开式中，x的系数与x的系数之差为 . 914. 已知???5???，则tan2?? . ,??，sin??5?2?x2y2??1的左、15. 已知F1、F2分别为双曲线C:右焦点，点A?C，点M的坐标为?2,0?，927AM为?F1AF2的角平分线，则 AF2? .
16. 已知点E、F分别在正方体ABCD?A1B1C1D1 的棱BB1、CC1上，且B1E?2EB,
CF?2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）?ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c。已知
A?C?90?,a?c?2b，求C
18.（本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。 （Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，
AB//CD,B?CCDSAB为等边三角形，,侧面AB=BC=2，CD=SD=1.
（Ⅰ）证明：SD?平面SAB;
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。
20.（本小题满分12分）设数列?an?满足a1?0, （Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?11??1
1?an?11?an1?an?1n，记Sn??bk?1nk，证明：Sn?1。
21.（本小题满分12分）已知O为坐标原点，F为椭圆
y2C:x??1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为?2的22????????????直线l与C交于A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。
22.（本小题满分12分）（Ⅰ）设函数f?x??ln?1?x??2x，证明：当x?0时，f?x??0 x?219 （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续
1?9?抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：p????2
e?10?
2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数学（理工农医类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1． B 2． B 3． A 4． D 5．C
6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A 1. 复数z?1?i，z为z的共轭复数，则zz?z?1? （A）?2i （B）?i （C）i （D）2i
【思路点拨】先求出的z共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。 【精讲精析】选B.z?1?i,zz?z?1?(1?i)(1?i)?(1?i)?1??i 2. 函数y?2x(x≥0)的反函数为
x2x2(x?R) （B）y?(x≥0) （A）y?44（C）y?4x2(x?R) （D）y?4x2(x≥0)
【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。
y2【精讲精析】选B.在函数y?2x(x≥0)中，y?0且反解x得x?，所以
4x2(x?0). 的反函数为y?y?2x(x≥0)4 3. 下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是
2233（A）a＞b?1 （B）a＞b?1 （C）a＞b （D）a?b
【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a＞b，而由a>b推不出选项的选项.
【精讲精析】选A.即寻找命题P使P?a?b,a?b推不出P，逐项验证可选A。 4. 解：设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，Sk?2?Sk?24，则k? （A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：
利用Sk?2?Sk?ak?2?ak?1直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】Sk?2?Sk= ak?2?ak?1= a1?(k?2?1)d?a1?(k?1?1)d=2a1?(2k?1)d
?2?1?(2k?1)?2?4k?4?24?k?5故选D。
5. 设函数f(x)?cos?x(?＞0)，将y?f(x)的图像向右平移像与原图像重合，则?的最小值等于 （A）
?个单位长度后，所得的图31 （B）3 （C）6 （D）9 3【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将y?f(x)的图像向右平移单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了
?个3?是此函数周期的整数倍。 3????)?cos?x 【精讲精析】f(x?)?cos[?(x?)]?cos?x即cos(?x?333???2k??2?(k?Z?)???6k?z6 ??则k??1时?min?6故选C 3Cl?,C为垂足，B??,BD?l,D为垂足．6.已知直二面角??l??，点A??,A若AB=2，
AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 (A)
236 (B) (C) (D) 1 333【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明AC?平面?，进而平面??平面ABC,所以过D作DE?BC于E，则DE就是要求的距离。
【精讲精析】选C.
如图，作DE?BC于E，由??l??为直二面角，AC?l得AC?平面
?，进而AC?DE，又BC?DE,BC?AC?C，于是DE?平面ABC，
故DE为D到平面ABC的距离。 在Rt?BCD中，利用等面积法得DE?BD?DC1?26 ??BC337. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有