第一章 函数、极限和连续
注：补充例题或习题已在题号前标注*
一、函数
?1,1?2例1（1）求函数f?x??ln?x?2??的定义域.（2）求函数f?x???1?x2x?1?3x?2,?例2设函数g?x??x?2，f??g?x????ln?x?2?，则f?1?? . 例3已知f?x??ln?1?x?，f????x????x，求??x?. 例4若??x?22?x?3的定义域.
?1???x??x?1，则??x?? . x例5已知f?x?的定义域为全体实数，f?x?1??x?x?1?，则f?x?1?? . 例6判断函数f?x??lgx??x2?1的奇偶性.
?二、极限
例1求下列各题的极限
x3?3x2?2xx2?1?12??1lim（1）lim.（2）.（3）lim???.（4）xlim2x??2x?1x?1x?0???x2?x?6x?1sin2x2??例2设当x?0，1?ax2?1与sinx是等价无穷小，则a? . 例3当x?0时，下列变量与x为等价无穷小量的是（ ）. A.sin2x B.1?cosx C.1?x?1?x D.xsinx 例4求下列各题的极限 （1）lim2?x2?2x?x2?x.
?tan2xtanx?sinx.（2）lim.
x?0sin5xx?0sin3x1?12x例5求下列各题的极限
?1?（1）lim??x?01?x??x?x?2?.（2）lim??x???x?x1x3x?2?x?1?.（3）lim??x??x?1??x2x?42?x?a?.（4）lim??（其中a为常数）. x??x?2a??x*例5求下列各题的极限 （1）lim??a?b?c?1?1?tanx?1?sinx?limcos.（2）.（3）. lim???x??2x?0x?0x3??x1?sinx?x??x
例6求下列各题的极限
sinxx2cosx（1）lim.（2）lim3.
x??x??x?x?1x 1
例7求lim?n???12?n?1?1n2?2?...???. 2n?n?1例8在下列函数中，当x?0时，函数f?x?极限存在的是（ ）.
?x?1,x?0?x??,x?0 B. f?x???xA.f?x???0,?x?1,x?0?1,???1?2?x,?x?0 C. f?x???0,?x?01?x?,2?x?0x?0 D.f?x??e x?01xa0xn?a1xn?1?...?an?1x?ann??12例9（1）lim?2?2?...?2?.（2）lim.
n??nx??bxm?bxm?1?...?bnnx?b??01m?1m（3）lim2sinn???nx1?cos2xlim.（4）. nx?02xsin2xx2?kx?3x2?ax?b?4，求常数k的值.（6）已知lim2?2，求常数a,b的值. （5）已知limx?3x?2x?3x?x?2三、函数的连续性
?1?xsinx,?例1设函数f?x???k,?1?xsin?1,x??x?2,?2例2设函数f?x???x?a,?bx,?
x?0x?0在其定义域内连续，求常数k的值. x?0x?00?x?1在???,???上连续，求常数a,b的值. x?1x?00?x?1，讨论f?x?的间断点及其类型. 1?x?2?x2?1,?例3设函数f?x???x,?2?x,?例4求下列函数的间断点并说明间断点类型
x2?11?x?1?x2（1）f?x??2.（2）f?x??.
x?3x?22x例5证明方程4x?2在?0,?内至少有一个实根.
例6设f?x??e?2，求证f?x?在?0,2?内至少有一个点x0，使e0?2?x0.
xxx??1?2?第二章 一元函数微分学
2
一、导数与微分
例1设y?f?x?在x0处可导，则limh?0f?x0?2h??f?x0?? ; h?x?0limf?x0??x??f?x0??x?? .
?x例2求下列函数的导数
（1）y?1?lnx.（2）y?arctane.（3）y?sin2x?sec2（5）y?f??x???x???，其中f?u?及??x?均可导.
2x32?e?.（4）y?2x2?1nlnxx.
?、f??x?a?n?和?f?x?a??（6）已知f?u?可导，求?flnx?????????（7）设y?f??????.
??x?1?2?，f??x??arctanx，求y?x?0. ?x?1?1?sin2x（8）设f?x?为二阶可导函数，且f?tanx??，求f???x?.
cos2xx?0??x,例3函数f?x???在x?0处是否连续，是否可导，为什么？
ln1?x,x?0??????cosx,x???2例4设函数f?x???
??x??,x????22（1）f?x?在x?
?2
处是否可导？（2）若可导，求曲线过点????,0?处的切线、法线方程. 2???x2,x?1例5设函数f?x???在x?1处可导，求常数a,b的值.
?ax?b,x?1例6设曲线y?x?x?2上存在切线与直线y?4x?1平行，求切点.
2例7设函数y?f?x?由方程sinx?y?xy确定，求
3??dy. dx例8设函数y?f?x?由方程x?y?3xy?1确定，求
33dydx.
x?0x2例9设函数y?1?x
3x?2?x?2?2，求y?.
3
例10设函数y??sinx?，求y?.
例11（1）设y(n?2)?xcosx，求y(n).（2）设y?ln?1?x?，求y(n).
t??dy?x?ecostt?例12已知?，求当时的值. t3dx??y?esintx2?dyd2y?x?arctant*例12已知参数方程?，求和2. 2dxdx??y?1?ln?1?t?———————————————————————————————————————————————
练习题
1.已知函数y?f?x?在x?a处可导，求lim2.求下列函数的一阶导数
xxsinxlnx2ln（1）y?lnarcsinx?ln2.（2）y?.（3）y?2x.（4）y?arctanx?1?. 21?tanxx?1?x?0f?a?3?x??f?a?.
?x33.用对数求导法求下列函数的一阶导数 （1）y?1?x?2arcsinx??x?. （2）y??. 2?1?x??x4.求下列隐函数的一阶导数y? （1）y?1?xe. （2）eyx?y?cos?xy??0.
5.求下列函数的二阶导数y??
（1）y?lnx?1?x6.求下列函数的微分
?2?e?x. （2）y?.
x1?x22（1）y?arctan. （2）y?arcsin1?x,?x?0?. 21?x7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程
3at?x???x?sint??1?t2（1）?，在t?处. （2）?，在t?2处. 24?y?cos2t?y?3at?1?t2?———————————————————————————————————————————————
4
二、导数的应用
例1不用求函数f?x???x?1??x?2??x?3??x?4?的导数，问方程f??x??0至少有几个实根，并指出其所在范围.
例2函数f?x??1?x在??1,1?上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理.
32例3设函数y?f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且在任一点处的导数都不为零，又f?a??f?b??0， 试证：方程f?x??0在开区间?a,b?内有且仅有一个实根. 例4利用洛必达法则求下列极限
ex?1?xxm?am1??xx2lnx. lim（1）lim.（2）.（3）.（4）limlim???2nn?x?0sinxx?ax?ax?1x?1x?0lnx??例5求下列函数极限 （1）lim?1?2x??x?01xx2x.（2）lim?x?0sinx.（3）lim??x?2??. 2x??x?1??2?1?exsinx?sinx1?4?x（4）limx?e?1?.（5）limx?1?cos2?.（6）lim.
x??x?0x??1?cosxx????例6证明不等式
xx?ln?1?x??x,?x?0?.（2）?arctanx?x,?x?0?. 1?x1?x2a?baa?bn?1nnn?1?ln?,(a?b?0) *（3）nb?a?b??a?b?na?a?b?,(a?b?0,n?1).*（4）abb（1）
例7证明不等式e?1?x,x???1,0?.
x例8证明下列不等式 （1）lnx?2?x?1??1,?x?1?.（2）当0?x?时，sinx?tanx?2x.（3）当x?1时，2x?3?.
2xx?122?x例9求函数f?x??xe的单调区间和极值.
例10求函数y?x的凹凸区间和拐点. 21?x4例11求函数y?x?2x?10的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值. 例12求函数y??x?1?x的凹凸性和拐点.
32例13求函数y?3?x2?2x?在?0,3?上的最值.
2例14求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线 （1）y?
xxy??1. .（2）
1?x2ex5