*八、高阶复合偏导数
参见习题9-4的第12题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过）
——————————————————————————————————————————————— 练习题
?z?zxey221.求下列函数偏导数和：（1）z?lnx?x?y.（2）z?2.
?x?yy??2.设
?z?zxz?ln，求和.
?x?yzy?z?z和. ?x?y3.设ez?xyz确定z?f?x,y?，求
224.设z?lnx?xy?y，证明x???z?z?y?2. ?x?y———————————————————————————————————————————————
八、二重积分
（一）二重积分的定义
（二）直角坐标下二重积分的计算 例1计算例2计算
???xD2D2?xy?y2?dxdy，D???x,y?0?x?1,0?y?1?.
2??xydxdy，D由x?0，y?0与x?y2?1所围成的第一象限的图形.
例3计算例4计算
sinx2Dy?x，是由直线与抛物线所围成的区域. dxdyy?x??xD???2x?y?dxdy，D由y?1，2x?y?3?0，x?y?3?0围成.
D2（三）利用极坐标计算二重积分
?x例1计算??eD?y2dxdy，D是圆心在原点，半径为a的圆.
例2计算
2222D，是圆周x?y?1及坐标轴围成的第一象限内的闭域. ln1?x?yd?????D———————————————————————————————————————————————
练习题 1.设z?lnx2?y2?arctany?z?z，求和. x?x?y?z?z和. ?x?y2.设z?e2x?ysin?x?2y?，求
23.设z?ln1?2x?3y，求dz.
?? 11
4.设3xy?x2?y2?1确定y是x的函数，求
dydx.
x?1y?25.求6.求
??yeDDxydxdy，其中积分区域D是由y轴，y?1，y?2及xy?2所围成的平面区域.
??2ydxdy，式中积分区域D由?1x022?x2?y?1?1?x2所确定.
y22127. 变换积分次序，并计算积分
?x2?y22dx?xedy??dx?xeydy.
128.计算
??eDdxdy，式中积分区域D由x2?y2?1，x?0，y?0所确定.
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第五章 常微分方程
一、微分方程的基本概念
d2x2例1验证x?C1coskt?C2sinkt（C1、C2为任意常数）是方程2?kx?0的通解.
dtd2x2例2已知方程2?kx?0的通解为x?C1coskt?C2sinkt，
dt件下的特解.
例3确定下列函数关系式中的常数，使函数满足所给的初始条件. （1）x?y?C，yx?0?5.
（2）y??C1?C2x?e，yx?0?0，y?x?0?1.
2x22xt?0?dxA，求dt?0条
t?0（3）y?C1sin?x?C2?，
yx???1，
y?x???0.
二、可分离变量的微分方程
dy?2xy. 例1解微分方程dx例2求下列方程的通解
22（1）1?xy??1?y.（2）
dy2dy?10x?y.（3）cosxsinydx?sinxcosydy?0.（4）?y?1??x3?0. dxdx???ysinx?ylny例3求方程的初始问题?y??e的特解.
x???2?x例4求初值问题cosydx?1?esinydy?0，yx?0????4的特解.
12
三、一阶线性微分方程
例1求微分方程y??ycosx?e?sinx的通解. 例2求下列非齐次方程的通解 （1）y??ytanx?sin2x.（2）例3求
d?dy3?3??2.（3）?x2?1?y??2xy?cosx.（4）?x?2??y?2?x?2?. d?dxdy?ytanx?secx，yx?0?0的特解. dx例4求下列方程的特解 （1）
dyysinxdy???ycotx?5ecosx，yx????4. ，yx???1.（2）dxxxdx2四、二阶常系数齐次线性微分方程
例1求解下列常系数二阶方程
（1）y???7y??12y?0.（2）4y???4y??10y?0.（3）y???2y??y?0. 例2求下列方程的特解
（1）y???3y??4y?0，yx?0?0，y?x?0??5.（2）y???25y?0，yx?0?2，y?x?0?5.
*五、微分方程综合题【热点】
*例1设f?x??2?f?t?dt?x0x2，求f?x?.
*例2求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点?x,y?处的切线斜率等于2x?y.
（2012年倒数第二题考查了一阶线性微分方程的几何意义，与上题形式差不多）
——————————————————————————————————————————————— 练习题 1.求方程
dy?10x?y的通解. dxy2.求方程xdy?dx?edx的通解. 3.求方程cosxdy?ysinx?1的通解. dx?x??y??y?e4.求下列方程满足初始条件的特解：?.
??yx?0?25.求下列二阶齐次方程的通解
d2ydyd2s?0.（3）2s?2?0.（4）x???t??2x??t??x?t??0. （1）y???3y??4y?0.（2）2?5dxdxdt6.求下列初值问题的特解
（1）求y???4y??3y?0，y?0??2，y??0??6. （2）求y???25y?0，yx?0?2，y?x?0?5.
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