所以SM⊥BD.又因为SD=DM，所以△SBM为等腰三角形.所以SB=BM，设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则BM=a.从而SA=SB=SC=BM=a. 又因为SM=
=
=
a2，S底=a2，
a，所以S侧=3×a〃a=所以S侧∶S底=
∶1.
8.已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积.
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
【解题指南】利用轴截面找到相关元素的关系，使空间问题平面化，通过构造二次函数，把问题转化为我们熟悉的函数在给定区间上的最值问题. 【解析】如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图，
(1)设所求圆柱的底面半径为r， 则=
，所以r=R-x，
〃x2.
则S圆柱侧=2πrx=2πRx-
(2)因为S圆柱侧是关于x的二次函数， 所以当x=-=时，S圆柱侧有最大值，
即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.
【变式训练】如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素). 【解析】(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为面积
S=πr2+2πr(1.2-2r) =πr2+2.4πr-4πr2 =-3πr2+2.4πr=-3π(r2-0.8r) =-3π(r-0.4)2+0.48π.
所以当r=0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米.
(2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2-2×0.3=0.6(米).制作灯笼的三视图如图.
=1.2-2r，则塑料片
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