江西理工大学
2010(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1，设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,3)，而(X1,X2?,X9)和(Y1,Y2?,Y9)是分别来自X和Y的样本，则U?2X1???X9Y???Y2129服从的分布是_______ .
解：t(9)．
?与??都是总体未知参数?的估计，且??比??有效，则??与??的期望与方差满足_______ . 2，设?121212?)?E(??), D(??)?D(??)． 解：E(?12123，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验．
4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．
?_______ . 5，多元线性回归模型Y?Xβ??中，β的最小二乘估计是β=?(XX?)X?Y． 解：β=?1二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1，设(X1,X2,?,Xn)(n?2)为来自总体N(0,1)的一个样本，X为样本均值，S为样本方差，则
____D___ .
（A）nX?N(0,1)； （B）nS??(n)；
222(n?1)X12(n?1)X?F(1,n?1). （C）?t(n)； （D）nS?Xi2i?22，若总体X?N(?,?)，其中?已知，当置信度1??保持不变时，如果样本容量n增大，则?的置信区间____B___ .
（A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能.
3，在假设检验中，分别用?，?表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时，下列说法中正确的是____C___ .
（A）?减小时?也减小； （B）?增大时?也增大；
1
22（C）?,?其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立.
4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设ST为总离差平方和，Se为误差平方和，SA为效应平方和，则总有___A___ .
（A）ST?Se?SA； （B）（C）
SA?2??2(r?1)；
SA/(r?1)?F(r?1,n?r)； （D）SA与Se相互独立.
Se/(n?r)25，在一元回归分析中，判定系数定义为R?S回，则___B____ . ST（A）R2接近0时回归效果显著； （B）R2接近1时回归效果显著； （C）R2接近?时回归效果显著； （D）前述都不对.
三、（本题10分）设总体X?N(?1,?)、Y?N(?2,?)，(X1,X2,?,Xn1)和(Y1,Y2,?,Yn2)分别是来自X和Y的样本，且两个样本相互独立，X、Y和SX、SY分别是它们的样本均值和样本方差，证明
2222(X?Y)?(?1??2)S?22(n1?1)SX?(n2?1)SY其中S??.
n1?n2?221n1?1n2?t(n1?n2?2)，
证明：易知
X?Y?N(?1??2,?2n1??2n2)， U?(X?Y)?(?1??2)?11?n1n2?N(0,1)．
由定理可知
2(n1?1)SX?2由独立性和?分布的可加性可得
2??(n1?1)，
22(n2?1)SY?2??2(n2?1)．
V?2(n1?1)SX?2?2(n2?1)SY?2??2(n1?n2?2)．
由U与V得独立性和t分布的定义可得
(X?Y)?(?1??2)S?1n1?n12?U?t(n1?n2?2)．
V/(n1?n2?2) 2
x?1??x?0?e, ,其中未知参数??0, 四、（本题10分）已知总体X的概率密度函数为f(x)????0, 其它?(X1,X2,?,Xn)为取自总体的一个样本，求?的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．
解：（1）v1?E?X??????xf(x)dx???0n1?xe?dx??，用v1??Xi?X代替，所以 ni?1?1?x1???n?Xi?1ni?X．
n1?)?E(X)?（2）E(??E(Xi)?E(X)??，所以该估计量是无偏估计． ni?1五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为f(x;?)?(1??)x,0?x?1，其中未知参数???1，
?(X1,X2,?Xn)是来自总体X的一个样本，试求参数?的极大似然估计．
解：
n?n?? (??1)(?xi) , 0?xi?1i?1 L(?)???? 0 , 其它ndlnL(?)n???lnxi?0，得 当0?xi?1时，lnL(?)?nln(??1)???lnxi，令
d???1i?1i?1n???1??n?lnxi?1n．
i??e??x,x>0;(X1,X2,?Xn)六、（本题10分）设总体X的密度函数为f(x;?)?? 未知参数??0，
x?0,?0,为总体的一个样本，证明X是
1的一个UMVUE． ?证明：由指数分布的总体满足正则条件可得
??2???1?1I(?)??E?2lnf(x;?)???E?2??2，
????????1的的无偏估计方差的C-R下界为 ? 3
??1?1?2?[(?)]?2????1．
?21nI(?)n?n22?另一方面
E(X)?1?， VarX(?)即X得方差达到C-R下界，故X是
1， 2n?1的UMVUE． ?七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为S?0.007公斤, 试问：（1）在显著性水平??0.05下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平??0.025，结果会怎样？
2222参考数据: ?0.025(9)?19.023, ?0.05(9)?16.919, ?0.025(8)?17.535, ?0.05(8)?15.507．
解：（1）H0:??0.005,2n?1?S2?2??~??8?，则应有： 22?22P??2??0.05(8)?15.507， ?8???0.005,??0.058?0.0072具体计算得：???15.68?15.507,所以拒绝假设H0，即认为苹果重量标准差指标未达到要20.0052求．
（2）新设 H0:??0.005, 由?220.0258?0.0072?17.535,????15.68?17.535, 则接受假设，
0.00522即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．
2八、（本题10分）已知两个总体X与Y独立，X~(?1,?1)，Y~(?2,?2)，?1, ?2, ?1, ?2未知，
222?12(X1,X2,?,Xn)和(Y1,Y2,?,Yn)分别是来自X和Y的样本，求2的置信度为1??的置信区间.
?212解：设SX, SY分别表示总体X，Y的样本方差，由抽样分布定理可知
2(n1?1)SX22?12由F分布的定义可得
??(n1?1)，
22(n2?1)SY2?2??2(n2?1)，
2(n1?1)SXF??21(n1?1)(n2?1)2(n2?1)SY2?222SX?2?22?F(n1?1,n2?1)． SY?1对于置信度1??，查F分布表找F?/2(n1?1,n2?1)和F1??/2(n1?1,n2?1)使得
4
P?F?/2(n1?1,n2?1)?F?F1??/2(n1?1,n2?1)??1??， 即
222??SX/SY?12SX/SY2P??2???1??， ?F1??/2(n1?1,n2?1)?2F?/2(n1?1,n2?1)?2222??SX/SYSX/SY?12, 所求2的置信度为1??的置信区间为 ??．
?2F(n?1,n?1)F(n?1,n?1)2?/212?1??/21?九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．
解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．
江西理工大学数理统计考试试卷
一、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体X~N(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差X?Y~________；
22、设X1,X2,...,X16为取自总体X~N(0,0.52)的一个样本，若已知?0.01(16)?32.0,则
P{?Xi2?8}=________；
i?1163、设总体X~N(?,?)，若?和?均未知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为1??的置信区间为(X??,X??)，则?的值为________；
4、设X1,X2,...,Xn为取自总体X~N(?,?2)的一个样本，对于给定的显著性水平?，已知关于?检验的拒绝域为?2≤?12??(n?1)，则相应的备择假设H1为________；
5、设总体X~N(?,?2)，?已知，在显著性水平0.05下，检验假设H0:???0,H1:???0，拒绝域是________。
2222S121、N(0，)； 2、0.01； 3、t?(n?1)； 4、?2??0； 5、z??z0.05。
2n2
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，?是未知参数，以下函数是统计量的为（
）。
13（A）?(X1?X2?X3) （B）X1?X2?X3 （C）X1X2X3 （D）?(Xi??)2
3i?1?1n222、设X1,X2,...,Xn为取自总体X~N(?,?)的样本，X为样本均值，Sn??(Xi?X)2，则服从自由
ni?11度为n?1的t分布的统计量为（ ）。
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