（A）
n(X??)n?1(X??）n?1(X??)n(X??） （B） （C） （D）
SnSn??21n3、设X1,X2,?,Xn是来自总体的样本，D(X)??存在， S?(Xi?X)2, ?n?1i?12则（ ）。
（A）S2是?2的矩估计
（B）S2是?2的极大似然估计
（D）S2作为?2的估计其优良性与分布有关
（C）S2是?2的无偏估计和相合估计
224、设总体X~N(?1,?12),Y~N(?2,?2，在)相互独立，样本容量分别为n1,n2，样本方差分别为S12,S222,H1:?12??2显著性水平?下，检验H0:?12??2的拒绝域为（ ）。
（A）
2s2s122s2?F?(n2?1,n1?1) （B）
2s2s122s2?F1??2(n2?1,n1?1)
（C）
s12?F?(n1?1,n2?1) （D）
s12?F1??2(n1?1,n2?1)
5、设总体X~N(?,?2)，?已知，?未知，x1,x2,?,xn是来自总体的样本观察值，已知?的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平??0.05时，检验假设H0:??5.0,H1:??5.0的结果是（ ）。
（A）不能确定 （B）接受H0 （C）拒绝H0 （D）条件不足无法检验 1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.
2?2x0?x???,三、（本题14分） 设随机变量X的概率密度为：f(x)???2，其中未知
其他??0,参数??0，X1,?,Xn是来自X的样本，求（1）?的矩估计；（2）?的极大似然估计。 解：(1) E(X)????xf(x)dx??0???2x2dx??，
3?22?)?X?2?，得???3X为参数?的矩估计量。 令E(X32(2)似然函数为：L(xi,?)??i?1n2xi?2?2n?2n0?xi??,(i?1,2,?,n)， ?xi，i?1n??max{X,X,?,X}。 而L(?)是?的单调减少函数，所以?的极大似然估计量为?12n
6
四、（本题14分）设总体X~N(0,?2)，且x1,x2?x10是样本观察值，样本方差s2?2， （1）求?的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知Y?2X2?2?X2~?(1)，求D???3?2??的置信水平为0.95的??22置信区间；（?0。 .975(9)?2.70，?0.025(9)?19.023）
解：
?1818??,（1）?2的置信水平为0.95的置信区间为?； ??2(9)?2(9)?，即为（0.9462，6.6667）
0.975?0.025??X2（2）D???3??1?X2?122?=???DD[?(1)]?； 2??2??2??2?????22??22????,是的单调减少函数，置信区间为???2??2?2?，
????X2由于D???3?
即为（0.3000，2.1137）。
五、（本题10分）设总体X服从参数为?的指数分布，其中??0未知，X1,?,Xn为取自总体X的样本， 若已知U?Xi~?2(2n)，求： ??i?12n（1）?的置信水平为1??的单侧置信下限；
（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010
22（h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。(?0.05(31)?44.985,?0.10(32)?42.585)。
??2nX?2nX???2???(2n)??1??,?P???2解：(1) ?P???1??, ????(2n)?????即?的单侧置信下限为??2nX2??(2n)；（2）??2?16?5010?3764.706。
42.585 六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度X~N(10,1)，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L），标准差为1.2（mg/L），问该工厂生产是否正常？
22（??0.05,t0.025(9)?2.2622,?0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.700）
解：
7
（1）检验假设H0：?=1，H1：?≠1； 取统计量：??
拒绝域为：?2≤?21?222(n?1)s2?20；
2222
=2.70或≥(n?1)??(9)?(n?1)????0.975?0.025=19.023， 22经计算：??2(n?1)s22?09?1.22??12.96，由于?2?12.96?(2.700,19.023)2，
1故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为?2=1。
?：??10，H1?：??10； 取统计量：t?（2）检验假设H010.8?101.2/10X?10S/10~ t?(9)；
2拒绝域为t?t0.025(9)?2.2622；?t??， ?2.1028<2.2622 ，所以接受H0即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题10分）设X1,X2,X3,X4为取自总体X~N(?,42)的样本，对假设检验问题H0:??5,H1:??5，（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若?=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率?。 解：(1) 拒绝域为z?x?54/4?x?5?z0.025?1.96; 2（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当?=6时，接受H0的概率为
??P{1.08?X?8.92}???
?8.92?6??1.08?6???????0.921。 2?2???八、（本题8分）设随机变量X服从自由度为(m,n)的F分布，(1)证明：随机变量自由度为(n,m)的F分布；(2)若m?n，且P{X??}?0.05，求P{X?证明：因为X~F(m,n),由F分布的定义可令X?所以
1服从 X1?}的值。
U/m，其中U~?2(m),V~?2(n)，U与V相互独立，V/n1V/n?~F(n,m)。 XU/m11当m?n时，X与服从自由度为(n,n)的F分布，故有P{X??}?P{X?}，
X?111从而 P{X?}?P{??}?1?P{??}?1?P{X??}?1?0.05?0.95 。
?XX
8
数理统计试卷参考答案
一、填空题（本题15分，每题3分）
S121、N(0，)； 2、0.01； 3、t?(n?1)； 4、?2??0； 5、z??z0.05。
2n2二、选择题（本题15分，每题3分） 1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.
三、（本题14分）解：(1) E(X)????xf(x)dx??0???2x2dx??，
3?22?)?X?2?，得???3X为参数?的矩估计量。 令E(X32(2)似然函数为：L(xi,?)??i?1n2xi?2?2n?2n0?xi??,(i?1,2,?,n)， ?xi，i?1n??max{X,X,?,X}。 而L(?)是?的单调减少函数，所以?的极大似然估计量为?12n
四、（本题14分）解：
9
?1818??,（1）?2的置信水平为0.95的置信区间为?； ??2(9)?2(9)?，即为（0.9462，6.6667）
0.975?0.025??X2（2）D???3??1?X2?122?=???DD[?(1)]?； 2??2??2??2?????22??22??????2是?的单调减少函数，置信区间为??2,?2?， ????X2由于D???3?
即为（0.3000，2.1137）。
??2nX?2nX???2???(2n)??1??,?P???2五、（本题10分）解：(1) ?P???1??, ????(2n)?????即?的单侧置信下限为??
六、（本题14分）解：
（1）检验假设H0：?=1，H1：?≠1； 取统计量：??
拒绝域为：?2≤?21?2
2
22nX2??(2n)；（2）??2?16?5010?3764.706。
42.585(n?1)s2?20；
?22222
(n?1)??0.975(9)=2.70或?≥??(n?1)??0.025=19.023，
2经计算：??2(n?1)s22?09?1.22??12.96，由于?2?12.96?(2.700,19.023)2，
1故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为?2=1。
?：??10，H1?：??10； 取统计量：t?（2）检验假设H010.8?101.2/10X?10S/10~ t?(9)；
2拒绝域为t?t0.025(9)?2.2622；?t??， ?2.1028<2.2622 ，所以接受H0即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题10分）解：(1) 拒绝域为z?x?54/4?x?5?z0.025?1.96; 2 10