第四章 向量代数与空间解析几何【数学1要求】
2013年考试内容
向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积 两向量垂直、平行
的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 柱面 旋转曲面 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
2013年考试要求
1. 2. 3. 4. 5.
理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。
理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 掌握平面方程和直线方程及其求法。
会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6. 会求点到直线以及点到平面的距离。 7. 了解曲面方程和空间曲线方程的概念。
8. 了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。
了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。
一、三基及其延拓
1. 向量代数
研究的对象为自由向量，研究的空间限于实物空间，即不超过三维的空间。
??①向量的一般表示a, b,等
●几何表示：以原点为起点的有向线段。
??●坐标表示： a?(x1,y1,z1), b?(x2,y2,z2)
????????●投影表示： a?a?jza ；k b?bxi?byj?bzk xi?ay坐标系：任何极大完备无关向量组
???i1???????????i2?a1,a2,a3,?an, 其中: ai???i3?可以构成坐标系，如果将该向量组施密特正
?????????is?? 158
????交化和单位化，则构成正交直角坐标系，很显然， 如果a1,a2,a3,?an中的每一向量是3
??维（s=3，有三个坐标分量），则不可能由二维坐标系（n=2，有二个独立分量）表示，这个思想应特别注意。
② 向量的方向角和方向余弦
??●a与x轴、y轴和z轴的正向且非负的夹角?,?,?称为a的方向角。
?ayaa●cos?,cos?,cos?称为a的方向余弦，且cos???x, cos???, cos???z
aaa?????● 任意向量r（er为r的单位向量，并规定er离开原点为正方向。） ????r?xi?yj?zk??x, y, z???rcos?, rcos?, rcos???r?cos?,cos?,cos??
?rx?y?z?????cos?, cos?, cos????i?j?k?er rrrr222??????x??y??z?222er称为r的单位向量，并且 cos??cos??cos??er??????????1。
?r??r??r?????● 任意向量线元（el为l的单位向量，并规定el离开原点为正方向。）
?????????dx?dy?dz????ico?s?jco?s?k dl?dlel?idx?jdy?kdz?el?i?j?kdldldl?co s??????● 任意向量面元（en为面元法线的单位向量，并规定en与Z轴夹角为锐角时为正方向。）
????????????dydz?dzdx?dxdy???dS?dSen?idydz?jdzdx?kdxdy?en?i?j?k?ico?s?jco?s?kdSdSdS?co s③夹角专题
● 两向量的夹角?规定：为两向量不大于?的夹角，即0????。
??axayaz? ??0?a?b????两向量平行，????两向量反平行；bxbybz??? 两向量平行或反平行的充要条件为： b??a a?0。
??? ???2???a?b?axbx?ayby?azbz?0?两向量垂直。 159
● 直线与平面的夹角?规定：直线与该直线在平面上的投影直线之间的夹角，0????2。 。
● 平面与平面的夹角?规定：两平面的公垂面与他们的截痕直线之间的夹角，0??? 又等于他们的法线之间不超过
?2?的夹角。 2● 定比分点公式：P1, P2, P为同一直线上的三点，
???????0, P 在 P1和 P2中PP?????????????x??x1y1??y2z1??z2??12???????????1, P 在 P2外?PP??PP?OP?, , 12??
1??1????1??PP2??1???0，P 在 P外1???④数量积 又称标积或点积，表示为a?b
??????x1x2?y1y?z1z2a?b2s?c?os???? a?b?abco? 222222abx1?y1?z1?x2?y?2z2????????或：a?b?aPrjab?bPrjba a?0, b?0
???????a?baxbx?ayby?azbz Prjba??? 称为a在b上的投影。
222bbx?by?bz注意：数量积本质上就是一个实数。 在三维以上空间的数量积称为内积 ，且可表示为 ??a?b?a, b?(x1, y1, z1, t1)?(x2, y2, z2, t2)?x1x2?y1y2?z1z2?t1t2
??③向量积 又称叉积或外积，表示为a?b
???i● a?b?x1x2??jk???y1z1??y1z2?y2z1?i??x1z2?x2z1?j??x1y2?x2y1?k y2z2 方向规定：转向角不超过?的右手螺旋定则。
????● a?b?absin?，
?????? b 共线。● 几何意义： a?b=平行四边形的面积；a?b?0，且共起点?a，
????⑤ 混和积 表示为?abc??
????????????x1? ● ??abc??a?b?c?b?c?a?c?a?b?x2x3??????y1z1y2z2?V V?0?三点共面 y3z3???? ● 几何意义： ?abc??代表平行六面体的体积；
????????abc?=0?a，， b c 共面。 ??160
???????dadadadaxddfday?i?j?zk (fa)?a?f⑥求导法则 dtdtdtdtdtdtdt????????????ddadbddadb(a?b)??b?a?a?b??b?a? dtdtdtdtdtdt??2、场论考点
●场的概念： 在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的确定值，叫做该
空间的物理量的场，分为数量场与向量场两类。数量场用梯度描述，向量场用散度与旋度描述。
??????●场论的数学核心：梯度算符，用?表示，定义为 ??i?j?k 。
?x?y?z?????????i?j?k，就好比楼梯的陡度。 ①梯度??定义： ????x?y?z????????P?Q?R????， 其中 A?Pi?Qj?Pk，表示分散的程度。 ②散度??A定义： ??A??x?y?z?? 如果没有分散，则散度为零，如静磁场的散度??B?0。 ???ijk???????③旋度??A定义： ??A? ，表示蜗旋的程度。
?x?y?zAxAyAz?? 如没有闭合，即不存在蜗旋，则旋度为零，如静电场的旋度??E?0。 ④运算关系（本知识点内容数学1-4不作要求，高数甲乙或高数AB需掌握）
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????????????????????
?(A?B)?(A??)B?(B??)A?A?(??B)?B?(??A)1
?2??4??(r)r
??e1
???r
rr2
???r?er
?u?u?u?u?cos??cos??cos??l?x?y?z
1?2?f(r)
?f(r)?2(r)
r?r?r??????2
??(??A)???A?(??A)?
????????1???(??A)?A?A??A??A2
2
??????????????(A?B)?(??A)B?(??B)A
????????????????????
??(A?B)?(??B)A?(B??)A?(??A)B?(A??)B
??????A?dS???AdV⑤高斯公式的场论表示 ? ??????v???????⑥斯托克斯公式场论表示 ??A?dl?????A?dS ls⑦平面格林公式
??Q?P?A?dl?Pdx?Qdy????dxdy ??l??l???x?y?s?评 注 在高斯公式和斯托克斯公式中，各符号的具体意义如下：
??????????????A?iP?jQ?kR; dS?idydz?jdzdx?kdxdy; dl?idx?jdy?kdz dv?dxdydz
???????评 注 读者最难理解是关系： dS?dSn?idydz?jdzdx?kdxdy。其实就是n的方向余弦
cos?, cos?, cos?元投影面元的关系，读者可在三维空间作一个平面
xyz???1。然后abc在该平面内过z?c点画无数线元dSi，每一线元在xoy平面的投影为dui，显然dui?dSicos?，并有：?dui?dxdy, ?dSi?dS?dxdy?dScos?，同理可得其他两个坐标平面的面元投影关系：dydz?dScos?; dzdy?dScos?。上述关系是读者能否学好空间积分的关键，务必掌握。
3、万能坐标系——正交曲线坐标系（本小节内容数学1-4不作要求，高数甲乙或高数
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