? 准线和母线都是直线?旋转形成 锥面?如椭圆锥面等?。? 准线是直线而母为曲线?旋转形成 旋转曲面?如单双叶双曲面等?； 空间平移形成柱面（如椭圆柱面等）。? 准线和母线都是曲线?相互正交的两抛物线平移形成马鞍面； 椭圆沿抛物线伸缩平移形成椭圆抛物面。 ? 零点法：用于分析二次曲面的准线和母线，以便确定曲面的轮廓。? 截痕法：用于分析二次曲面的细节，以便画出曲面图形。? 伸缩法：用于分析曲面之间的转换，如圆锥面转化为椭圆锥面等。? 动静点转换法：是确定旋转曲面方程和伸缩变形方程的定势手段。 7.3 投影方程的确定
?F1(x,y,z)?0任一空间曲线?: ? 在平面π上的投影构成一条平面曲线——投影曲线；以
?F2(x,y,z)?0投影曲线为母线沿垂直于平面π的任意准线移动构成投影柱面，如直线的投影柱面就是一个垂直于π的平面。
如求曲线?在xoy平面上的投影方程
由?中消去z?得到一个母线∥z轴的柱面方程 ?(x,y)?0。
??(x,y)?0则投影于XOY平面上的投影方程为?
z?0?评 注 空间几何解题一般切入点：首先尽可能画出草图，思考所求结论必须知道几个可能的条件，这些条件在题目中一般又是隐含出现的，我们的目标就是从隐含条件推出需要的条件，然后套用直线或平面的方程类型。其中，重点注意已知直线的方向向量和已知平面的法向向量与待求直线或平面的关系。
?x?3?t?【例1】 求直线L?y??1?2t 在平面?：x?y?3z?8=0上和三个坐标平面上的的投影方
?z?5?8t?程。
??? 解： 第一步 求投影柱面（对直线投影而言投影柱面就是投影平面）方程 ?的n*，
*该平面显然与?垂直，又
??? S???1,2,8?, n??1,?1,3?
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?????则易知 n*?s?n??121?i?j?k8??14,11,?1?
?13 又?*也通过L，可以利用L上的已知点?3,?1,5?，则?*为 14x(?3?)1y1?( 5?1)z?1(?L在平面π投影正好为?与?*的交线，其方程为
?14(x?3)?11(y?1)?(z?5)?0?14x?11y?z?26?0 ???x?y?3z?8?0x?y?3z?8?0?? 直线在三个平面上的投影方程为：
?x?3?t?x?3?t?x?0???XOY??y??1?2t; XOZ??y?0; YOZ??y??1?2t
?z?0?z?5?8t?z?5?8t???8. 二次曲面方程和图形的研究
8.1 准线和母线是研究曲面的核心技术。已知曲面方程，用零点法可确定准线和母线，从而确定曲面的生成方式；用截痕法可以确定曲面的具体形状；用伸缩法可以研究曲面之间的转换，建立新曲面方程和后面的将要建立的旋转曲面方程要使用动静点转换法。研考数学中的曲面都是由母线沿准线空间平移或旋转及坐标伸缩变形而形成。 ●零点法
x2y2y2 例如：分析曲面方程为 2?2?z的图形，令x?0??2?z?y2??b2z为一开口向下的
abbx2抛物线；令y?0?2?z?y2?a2z为一开口向上的抛物线；这两个抛物线就构成了该二次
a曲面的准线和母线，可以想象，该二次曲面是有其中一个抛物线沿另一个抛物线平移生成。 ● 截痕法
平面z?t与曲面F?x,y,z??0的交线称为截痕，通过综合截痕的变化来了解曲面的形状
x2x2y2的方法，称为截痕法。例如：在2?2?z中，令z?t?abat???bt?2?y22?1，这是一条双
曲线，也就是用水平平面截该曲面时，其截痕是双曲线。综合零点法的分析，我们就能够确
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x2y2定：2?2?z正是双曲抛物面，即马鞍面。
ab● 伸缩法
如在曲面F?x,y??0上取一静点M?x1,y1?，现把M?x1,y1?变形为动点M?x2,y2?，然后想办法消去静点坐标（即动静点转换法）。又，给定两了点坐标的伸缩变换关系，如令
?1??1x2?x1;y2??y1，则：F?x1,y1??0?F?x2,y2??0?F?x,??????y??0称为原曲面经伸缩变形?后的新曲面方程。 例如圆柱面变成椭圆柱面：
x22y22x2y2?a?22222222x?y?a?x1?y1?a??????x2??y2??a?2?2?1?2?2?1
abab?b?又如圆锥面变成椭圆锥面：
22bx2?x1;y2?y1a2x12?y1x2?y2?z?2aa2
?a?x?b?y2?22222x2?x1;y2?y1,z2?z1xyxyb??22222a?z1????????z???z???z22a2a2b2a2b222 常用曲面之一：柱 面
评 注 柱面是由母线沿准线空间平移形成，柱面的准线和母线必有一个是直线。其中，直线为准线，曲线为母线。如果是圆柱面，则准线和母线可以互换；如果为非圆柱面，如棱柱面，则必须取直线为准线，曲线为母线。
x?y?R 圆柱面
x2y2??1 双曲柱面 a2b2222
x2y2?2?1 椭圆柱面 2ab x2?2py 抛物柱面
特点：柱面方程中，柱面轴平行于隐含的坐标轴，如x2?2py的轴平行于z轴。
?x2?y2?z2?R2注意：在三维情况下圆的方程的一种形式为?
?x?y?z?R形象记忆掌握法：影（隐）评（平）。 ● 柱面方程的一般求法：
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??????f?x,y??0 给定准线L:?和母线的方向s?li?mj?nk，求柱面方法如下：
??z?h设P?x,y,z?为柱面上的任意点，根据柱面形成的过程，必在准线L上有相应的点
?????Q?X,Y,Z?，使得PQ?s，由此可以利用直线PQ的方程将P,Q两点的坐标间关系找出来，即：
?X?x?lt??Y?y?mt （1） ?Z?z?nt?又由于Q?X,Y,Z?在L上，故
??f?X,Y??0 ? （2）
??Z?h用（1）式代入（2）式，由h?z?nt得 t?所求的柱面方程为
h?zh?zh?z;X?x?l?;Y?y?m? nnnl?h?z?m?h?z???f?x?, y???0
nn??22?xy???????1?0例如：已知母线方向s?i?j?k及准线L:?a2b2，则柱面方程为
?z?2?
1122x?z?2?y?z?2?1 ????22ab 这是一个斜的椭圆柱面。
特别地：若母线平行某一坐标轴，如平行，则l?m?0，则柱面方程就是：f?x,y??0
8.3 常用曲面之二：旋转曲面（母线沿直线准线旋转移形成） ● 平面曲线f?x,y??0沿z轴旋转不能形成曲面；
? ● 平面曲线f?x,y??0沿y轴旋转?f??后相加开平方。
● 平面曲线f?x,y??0沿x轴旋转?fx,?z2?y2?0；
22?x?z,y??0。
形象记忆法：舅留加饭（方）。即旋转轴留在曲面方程中，增加没出现的一个变量，然
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??z?y如二维曲线?绕z旋转后的曲面方程为 z???x?0x2?y2?4x2?y2 特别地：当母线为直线并与准线相交时，旋转或平移则形成圆锥面。
例如：直线（母线）z?ycot?(?为两直线小于90度交角的一半)沿z轴（准线）旋转
a?cot???z2?a2?x2?y2?即为锥面方程，也可以由直线（母线）后，变为z??y2?x2cot????2z?ycot?沿某一园空间平移一周而形成锥面。
●锥面方程的一般求法：
??f?x,y??0给定准线L:?和原点P0?0,0,0?，求锥面方程如下：
z?h??设P?x,y,z?为锥面上的任意点，根据锥面形成的过程，必在准线L上有相应的点
Q?X,Y,Z?，使得Q?X,Y,Z?在直线P0P的延长线上，直线P0P的方向数显然为?x,y,z?即：
?X?xt??Y?yt （1） ?Z?zt?又由于Q?X,Y,Z?在L上，故
??f?X,Y??0 ? （2）
Z?h??用（1）式代入（2）式，得所求的锥面方程为
z??f?xt,yt??0t?h??? ???zt?h?hxhy?f?,??0 ?zz?可见以圆点为顶点的锥面方程是齐次方程。
?x2y2???1?0例如：已知顶点在原点及准线L:?a2b2，则锥面方程为
?z?2?1?2x?1?2y?x2y2z2 2???2???1?2?2??0
a?z?b?z?ab4 这是一个椭圆锥面。
【例2】求以原点为顶点且与三坐标的截距相等的圆锥（正圆锥）方程。
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