AB需掌握）
在该系中任一曲线元 dli?hidui dui为球面系、柱面系等坐标曲线元。
对直角坐标 d1l?d x dl2?d y dl3?d；z h1?h2?h3?1；u1?x, u2?y, u3?z 对柱坐标系 (r,?,z?)1h?1,2h ?r3,h ?； u1?1r, u2??, u3?z
对球坐标系 (r,?,??)h1?1,h2 ?r3h, ? r?；sui1n?r, u2??, u3??
则?????le??????????u1????u2?????u3??1?e2??le3??e1?e2?e3
1?l23?u1?l1?u2?l2?u3?l3即：??1??he?1????1???1?ue2?e3 1?u1h2?2h3?u3而 ???A??1?h??(hhA)??(hhA)??1h2h3??u23x1?u13y?(h1h2Az)?（无须掌握证明过程）
2?u3?h??1e1h?????2e2h3e3???A??1???h1h2h3?u1?u（无须掌握证明过程）
2?u3A1h1A2h2A3h3?1?????h??u?h3????2h32??u(h2)?????e?1???????11?3??h?(h1)?(h3)?e2?3h1??u3?u3?h1h2??u(h?????2)1?u(h1)?e3 2?记住?, ???A?, ???A?的结论形式即可。
● 拉普拉斯算子?在球坐标系的形式 dl1?dr dl2?r?d dl3?(rsin?)d? h1?1 h2?r h3?rsin? u1?r, u2??, u3?? ?f???1???1????1?????f??1?f???? ?hee?1?f??1?e2?3f?er?e??e?1?u1h2?u2h?3u3??rr??rsin????f????f?1??h
2h3??hh13??h1h2??h?()??u()?()?1h2h3??u1h1?u12h2?u2?u3h3?u1??1???2?f???rsinr2sin????r??rsin???f???r?f???r???????r?????????rsin????????1???f?1???f?1?2f
r2?r??r2?r???r2sin?????sin??????r2sin2???2
163
●拉普拉斯算子?在柱坐标系的形式
(r,?,z)?h1?1, h2?r, h3?1； u1?r, u2??, u3?z
??h2h3?f?hh?f?h1h2?f?13()?()?()???uh?u?uh?u?uh?u11222331??11???f?1?f?f?f?()?(r)? ??(r)?
r??r?r??r???z?z?1?f????f?h1h2h31??f1?2f?2f ?(r)??r?r?rr2??2?z24. 直线方程
??一簇与该直线平行的方向数l,m,n；一般用s??l,m,n?表示直线的方向向量。 ?方向向量s：①一般式方程
?????A1x?B1y?C1z?D1?0 n1??A1,B1,C1?，n一般表示平面的法线向量。 ??????A2x?B2y?C2z?D2?0n2??A2,B2,C2???????则直线的方向向量 s??l,m,n??n1?n2
?②点向式（标准式） s??l,m,n?
x?x0y?y0z?z0?? lmn?x?x0?lt??③参数式 ?y?y0?mt M(x为直线上已知点， 方向数：,y,z)s??l,m,n? 000?z?z?nt0?④两点式
x?x1y?y1z?z1 ??x2?x1y2?y1z2?z1⑤方向角式：xcos??ycos??zcos??x2?y2?z2，?,?,?为已知。 ⑥直线间关系
?L1?L2?l1m1n1?? l2m2n2?L1?L2?l1l2?m1m2?n1n2?0
164
??????S1?S2????cos????????
S1S2?点P1?x1,y1,z1?到直线
x?x2y?y2z?z2??的距离d lmn??ij?底长为 s 的平行四边形面积d???s?直线到直线的距离d
x2?x1l2y2?y1ml?m?n2?kz2?z1n2 ?ix2?x1?jy2?y1ml?m?n222?kz2?z1n ?a? 两平行直线的距离d同上 d?l?b? 两异面直线的距离d（画出平行六面体图推导出下式）
????????????PP??12, S,1 S?2? d???????S1?S2x2?x1y2?yl1m1l2?il1l2m2?jm1m21z?2zn1n21?kn1n2 其中：P1?x1,y1,z1?和P2?x2,y2,z2?分别为两直线上的任意两点，不管这两点位置如何，
?????d。 PP12的投影的模都等于
5. 平面方程
?C?z①一般式 Ax?ByD?0
?法线方向向量 n??A,B,C?
形象记忆掌握法：“影评”（隐蔽平行坐标量），如y不出现，则∥y轴；依此类推。 ②点法式
A(x?x0)?B(y?y0)?C(???0)?0
③三点式
165
x?x1x?x2x?x3y?y1y?y2y?y3z?z1z?z2=0 z?z3④截距式：即平面经过下列三点：(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)
xyz???1 abc⑤平面束方程
A?Cz1x?B1y1?1D???2A?x2B?y2C??z20 D?不包含A2x?B2y?C2z?D2?0；如果所求平面通过已知直线（一般式），则用平面束方程会比较简便，但必须验证A2x?B2y?C2z?D2?0是否满足所求结论，以免遗漏。 ⑥平面间的关系 ● ?1??2?A1B1C1 ??A2B2C2● ?1??2?A1A2?B1B2?C1C2=0 ● 夹角??cos??A1A2?B1B2?C1C2A?B?C?A2?B2?C2212121222 ● 点P0?x0,y0,z0?到平面Ax?By?Cz?D?0的距离，对直线到平面的距离只要在已知直线上任取一点即可类似处理
d?Axy?C0z?0?B0A2?B2?C2D ??????证明：在平面上任取一点P10。 1?x1, y1, z1?，作平面的法线向量n，则 d?PrjnPP???????????PrjnPPn??x?0x, y1?y??10?PP1?00, z1?z0?A?x0?x1?? B?y0?y?1? C?z?0zA2?B2?C2?Ax0? By0? Cz?0???D?A?B?C222?A, B, C?121??12A?B2?C2?Ax? 0By? Cz???0Ax?By1?Cz1?02A?B?2C2 ??Ax0? By0? Cz0?DA?B?C22
?d?Ax0? By0? Cz0?DA2?B2?C2166
●两平行平面之间的距离 d?D1?D2A?B?C222 6. 平面与直线之关系
L???Al?Bm?Cn?0
ABC?? lmn??n?s夹角 ??sin????
n?sL???7.曲面及其方程
7.1 准线与母线的界定
准线一般指基准曲线，如旋转轴，圆或圆锥曲线；母线顾名思义是由该曲线旋转或平移（可以是空间平移）后可以生成所要求的曲面的曲线（就像母亲生孩子）；其中的旋转轴和平移基准也就是准线。如一条直线沿某一圆周平移一周形成圆柱面。 7.2 二次曲面
● 二次曲面的二次型表示
22?by?c2z?2 axdx?2ye?2yz?fzx??g?adf??x????xyz????d??b ?e?fec??z?????yg?a?A??d?f?dbef??e?的特征值就确定了三类曲面： c???A正定或负定?椭球面??A无0特征值且特征值异号?双曲面 ?A有0特征值?抛物面?● 大纲中只要求掌握一部分二次曲面，包括：九种常用二次曲面，圆柱面和一般锥面。如何掌握？下列技巧提供了全面解决方略。
陈氏第6技 从准线与母线的三种关系和陈式4法来系统掌握考点，并理解曲面图形。
167