专题综合训练(五)
[专题五 立体几何]
(时间：60分钟 分值：100分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图Z5－1所示，则其俯视图为( )
图Z5－1
图Z5－2
2．已知一个几何体的三视图如图Z5－3所示，则该几何体的体积为( )
图Z5－3
2π4π
A．8－ B．8－ 334π2π
C．4－ D．4－ 33
3．已知一个几何体的三视图如图Z5－4所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )
图Z5－4
（4＋π）3A. B．(4＋π)3
3
（8＋π）3（8＋π）3C. D.
26
4．一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a，则此三棱柱的外接球的表面积为( )
A．πa2 B．15πa2 117
C.πa2 D.πa2 33
5．某几何体的三视图如图Z5－5所示，则它的体积是( )
图Z5－5
2ππA. B．8－ 33
2π
C．8－ D．8－2π
3
6．过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有( )
A．0条 B．1条 C．4条 D．无数条 7．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，nα，则m∥n B．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，mβ，α∩β＝n，则m∥n
8．已知正方形ABCD的边长为2 2，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如图Z5－6所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图像大致是( )
图Z5－6
图Z5－7
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．一水平放置的平面图形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图Z5－8所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形OABC的面积为________．
图Z5－8
图Z5－9
10．如图Z5－9所示是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是________．
11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB＝8，BC＝2 3，则棱锥O－ABCD的体积为________．
12．一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为a的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为________．
三、解答题(共40分)
13．(13分)某粮仓是如图Z5－10所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB＝16 m，AD＝4 m，腰梁AE，BF，CF，DE分别与相交的底梁所成角均为60°.
(1)求腰梁BF与DE所成角的大小；
(2)若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少粮食？ 图Z5－10
14．(13分)如图Z5－11所示，在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB＝CD＝1，AC＝3，AD＝DE＝2，G为AD的中点．
(1)在线段CE上找一点F，使得BF∥平面ACD，并加以证明； (2)求三棱锥G－BCE的体积．
图Z5－11
15．(14分)如图Z5－12所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D，E分别是线段BC，PD的中点．
(1)若AP＝AB＝AC＝2, BC＝2 3，求三棱锥P－ABC的体积；
1
(2)若点F在线段AB上，且AF＝AB，证明：直线EF∥平面PAC.
4图Z5－12
专题综合训练(五)
1．C [解析] 直观图如图所示，则其俯视图为C.
2
2．D [解析] 该几何体为一个长方体内“挖去”一个半球，所以其体积为22×1－π×
3
2
13＝4－π.
3
1
3．D [解析] 该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成的，所以其体积为×π×
3
（8＋π）311
12×3×＋×4×3＝. 236
22
a?2?27a23?27πa?4．D [解析] R＝?2?＋×a＝，S＝4πR＝. 123?32?
5．C [解析] 由三视图知原几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥，正方体的棱长为2，
2π1
圆锥的底面半径为1，高为2，所以该几何体的体积为V＝23－×π×12×2＝8－. 33
6．C [解析] 根据异面直线所成的角的定义可知：与其中一条直线平行的直线，与另一条所成的角相等．而在长方体的12条棱中，分为三组，每组只有四条直线相互平行，故只有四条直线与过P的直线成等角．
7．D [解析] A中，m∥α，m与α无公共点，故m与α内的直线平行或异面，故A错误；B中，n与α可能平行，故B错误；C中，m与n可能平行，故C错误；D为线面平行的性质定理，故D正确．
8．D [解析] 因为正方形ABCD的边长为2 2，所以AC＝4，又平面ABC⊥平面ACD，
22
O为AC边的中点，所以BO⊥AC，BO⊥平面ACD.可求得f(x)＝－(x－1)2＋.
33
9．8 2 [解析] 原平面图形为平行四边形，S＝2×4 2＝8 2.
11
10．17π [解析] 该几何体为一圆台，S上＋S下＝5π，S侧＝×1π×4＋×2π×4＝12
22
π，所以表面积为17π.
11．16 2 [解析] 球心在矩形的射影为矩形对角线的交点．因为对角线长为
1
82＋（2 3）2＝2 19，所以棱锥的高为52－（19）2＝6，所以棱锥的体积为×6×
3
8×2 3＝16 2.
12．3πa2 [解析] 由题可知该三棱锥为一个棱长a的正方体的一角，则该三棱锥与该正
33?2?2
方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为3a，则球半径为a，则S＝4πr＝4π
2?2a?
＝3πa2.
13．解：(1)过点E作EK∥FB交AB于点K，则∠DEK为异面直线DE与FB所成的角， ∵DE＝FB＝4 m，AK＝2×(4cos 60°)＝4 m，DK＝4 2 m， ∴∠DEK＝90°，即DE⊥BF. 故腰梁BF与DE所成角为90°.
(2)过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N， 联结MN，
则AB⊥平面EMN，
∴平面ABCD⊥平面EMN，过点E作EO⊥MN于点O， 则EO⊥平面ABCD.
由题意知，AE＝DE＝AD＝4 m，