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用，解答时求出函数的解析式是关键．
23．（8分）（2014?陕西）小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市，由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定，规则如下： ①在一个不透明的袋子中装一个红球（延安）、一个白球（西安）、一个黄球（汉中）和一个黑球（安康），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；
②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；
③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出求的颜色相同为止． 按照上面的规则，请你解答下列问题：
（1）已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？
（2）已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？ 考点： 列表法与树状图法．
分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小英和母亲
随机各摸球一次，均摸出白球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由（1）得：共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：（1）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有1种情况，
∴小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是：
；
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（2）由（1）得：共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，
∴小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是：
．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（8分）（2014?陕西）如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．
（1）求证：AD平分∠BAC； （2）求AC的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）首先连接OD，由BD是⊙O的切线，AC⊥BD，易证得OD∥AC，继而可证得
AD平分∠BAC；
（2）由OD∥AC，易证得△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AC的长．
解答： （1）证明：连接OD，
∵BD是⊙O的切线， ∴OD⊥BD， ∵AC⊥BD， ∴OD∥AC， ∴∠2=∠3，
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∵OA=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2， 即AD平分∠BAC； （2）解：∵OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴∴
， ，
．
解得：AC=
点评： 此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助
线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25．（10分）（2014?陕西）已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N． （1）求抛物线C的表达式； （2）求点M的坐标；
（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？
考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四
边形的性质．
分析： （1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值
即可；
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（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；
（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．
解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，
∴
，解得
，
故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3， ∴当x=﹣
=﹣
=﹣1时，y=4，
∴M（﹣1，4）．
（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′， ∴MN∥M′N′且MN=M′N′． ∴MN?NN′=16， ∴NN′=4．
i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是?MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；
ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是?MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′． ∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．
点评： 本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与
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性质等知识点．第（3）问需要分类讨论，避免漏解．
26．（12分）（2014?陕西）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长； 问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．
考点： 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位
线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．
专题： 压轴题；存在型．
分析： （1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩
形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．
（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长． （3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．
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