2002-2003第一学期
一．计算及推导（5*8）
1．已知x*?3.141,x??，试确定x*近似x的有效数字位数。 2．有效数
***x1??3.105,x2?0.001,x3?0.100，试确定
***x1?x2?x3的相对误差限。
3f?0,1,2,3?3．已知f(x)?0.5x?0.1x?2，试计算差商
4．给出拟合三点A?(0,1),B?(1,0)和C?(1,1)的直线方程。 5．推导中矩形求积公式
ba?b1''3f(x)dx?(b?a)f()?f(?)(b?a)?a224 6．试证明插值型求积公式
?baf(x)dx??Aif(xi)i?0n的代数精确度至少是n次。
?a,b?内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代
7．已知非线性方程x?f(x)在区间
公式。
8．用三角分解法求解线性方程组
?121??x1??0??223??x???3????2??????1?30????x3????2??
二．给出下列函数值表 0.4 0.5 xi f(xi)0.6 0.56464 0.7 0.64422 0.8 0.71736 0.38942 0.47943 要用二次插值多项式计算f(0.63891)的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。（保留5位有效数字）（12分） 三． 已知方程x?lnx?0在(0,1)内有一实根?
（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似收敛，并证明其收敛性。 （2）
x0?0.5xn?xn?1?10?3xn?试用构造的迭代公式计算的近似值，要求。
x0?(0,1)迭代法都
四． 设有方程组
?a13??x1??b1??1a2??x???b????2??2????32a????x3????b3??
当参数a满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。（12分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题 '2x??y?y?y (0?x?0.2)??y(0)?1? 取h=0.1，小数点后保留5位。（8分）
?y'?f(x,y) ?y(x0)?y0六．证明求解初值问题 ?的如下单步法
??yn?1?yn?K2?K1?hf(xn,yn)??11?K2?hf(xn?h,yn?K1)?22
是二阶方法。（10分）
七．试证明复化梯形求积公式
?ban?1hb?af(x)dx?(f(x0)?2?f(xi)?f(xn)) h?2n i?1对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。（6分）
2003-2004第一学期
一．填空（3*5）
*1．近似数x?0.231关于真值x?0.229有_____-位有效数字。 **x2．的相对误差为x的相对误差的_______倍。
n3．设f(x)可微，求x?f(x)根的牛顿迭代公式______。
4．插值型求积公式
?baf(x)dx??Aif(xi)i?0n的代数精确度至少是______次。
5．拟合三点A?(1,0),B?(1,3)和C?(2,2)的常函数是 ________。 二．已知f(x)有如下的数据
xi1 2 P(xi)?f(xi)2 4 3 3 12 f(xi)f'(xi)试写出满足插值条件误差的表达形式。
以及P'(2)?f'(2)的插值多项式P(x)，并写出
xedx三．（1）用复化辛浦森公式计算?为了使所得的近似值有6位有效数字，问
01需要被积函数在多少个点上的函数值？
（2）取7个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算?1后至少保留4位。
7x2lgxdx，小数点
3y?x四．曲线与y?1?x在点（0.7，0.3）附近有一个交点(x,y)，试用牛顿迭
代公式计算x的近似值
?12?2??x1??5??111??x???1????2?????221????x3????3??
xn，要求
xn?xn?1?10?3
五． 用雅可比方法解方程组
(0)是否对任意的初始向量x都收敛，为什么？取x(0)?(0,0,0)T，求出解向量的近
似向量，要求满足1?i?3。
六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题
?y'?y2+1 ??y(0)?0
maxxi(k?1)?xi(k)?10?6的解函数在x?0.6处的近似值，要求写出计算格式。（步长h?0.3,小数点后保留5位有效数字）
?y'?f(x,y) ?y(x0)?y0七．设有求解初值问题?的如下格式
yn?1?ayn?1?byn?chf(xn,yn)
问常数a,b,c为多少时使得该格式为二阶格式？
如假设
yn?1?y(xn?1),yn?y(xn) 2005-2006一．填空（3*5） 1.设近似数
**er(x1x2)?第二学期
**x1?1.2250,x2?0.5168都是四舍五入得到的，则相对误差
______。
?x1?2.8?x?3.22.矛盾方程组?1的最小二乘解为_______。
3.近似数
x*?0.01999关于真值
x*?0.02000有______位有效数字.
y?yn?0.134.取3?1.732，迭代过程n?1是否稳定？
5.求积公式?1二． 取初值
3f(x)dx?2f(2)有几次的代数精确度？
x0?1.6，用牛顿迭代法求3.1的近似值，要求先论证收敛性。当xn?1?xn?10?5时停止迭代。
1y?a?bx2x三．用最小二乘法确定中的常数a和b，使该曲线拟合于下面的四
个点（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74）
（计算结果保留到小数点后4位）
(k)??11四．用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值的第k次近似值及相应的特征
向量，要求取初值
?51?2??101????61?3?? 这里 A=?x1u0?(1,1,1)T且
?1(k)??1(k?1)?10?3
?9x1?2x2?x3?6???x1?8x2?x3?8??x?x?8x??83五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组?12
(k?1)(k)?3(0)T(k?1)x?x?10iix?(1,0,0)收敛性，并取，求近似解x，使得（i=1，2，3）
六．已知单调连续函数y?f(x)的如下数据
xi?1.120.001.802.20f(xi)?1.10?0.500.901.70
用插值法求方程f(x)?0在区间（0.00，1.80）内根的近似值。（小数点后至少保留4位）
七．设有积分
I??dx04?x 取5个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节
1点上的函数值表（小数点后至少保留4位）
用复化的simpson公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。
?'x?y??0 y??y(0)?0?1?x?1.4八．给定初值问题
写出Euler预估校正格式
取步长为0.2，计算在1.4处的函数的近似值。
九．设矩阵A对称正定，考虑迭代格式
x(k?1)?x(k)??x(k?1)?x(k)???A?2??????b???
??0,k?0,1,2,3...对任意的初始向量x(0),x(k?1)是否收敛到Ax?b的解，为什么？
2006-2007第一学期
一. 填空
*x1） 近似数?1.253关于真值x?1.249有____位有效数字；
1nn2） 设有插值公式
*??1f(x)dx??Akf(xk)k?1，则k?1?Ak=______；（只算系数）
*x1er(*)?x2*x?0.0235x123） 设近似数，?2.5160都是有效数，则相对误差
4） 求方程x?cosx的根的牛顿迭代格式为______；
____；
?x1?x2?1?2x1?2x2?2??x?x?1?1?x1?x2?12?x?2x??1?x?2x??1225） 矛盾方程组?1与?1得最小二乘解是否相同______。
xxe?1在区间（0，1）内根的近似值，要求二. 用迭代法（方法不限）求方程
先论证收敛性，误差小于10时迭代结束。
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