第九章 压杆稳定
9-1 由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架，杆的直径均为d＝40mm，材料的弹性模量E=200GPa, a=1m，试求使结构到达临界状态时的最小荷载。如F力向里作用，则最小荷载又是多少？
答：Ft=124kN, Fc=350.2kN
BaFADCF题 9 - 1 图解：当F为拉力时，长杆为
2a的杆受压
由静力学平衡方程可知该杆所受压力为F
Fcr??EI?2(?l)2?2?200?109??64(1?2?1)2?0.044?124kN
?Ft?Fcr?124kN当F为压力时，长为a的杆受压
由静力学平衡方程可知该杆所受压力为
2F 2?0.044?248kN
Fcr???EI?(?l)22?2?200?109?(1?1)?6422Fc?248kN2?Fc?350.7kN9-2 如图所示细长杆，试判断哪段杆首先失稳。 答： （d）
(a)a解：?a(b)a(c)a(d)aF
?0.5 ?b?0.7 ?c?0.7 ?d?2
?2EI?Fcr? (?l)2?d??c??b??a
?Fcrd最小
∴d杆最容易失稳
9-3 试求图示压杆的临界力，材料是HPB235。 答：Fcr=19.7kN
F30X30X40.45 m题 9 - 3 图 解：一端为自由端，一端为固定端，则?
?2
?2EIFcr?(?l)2
查表可知：
Ix0?2.92?10?8m4Iy0?0.77?10?8m40
因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向 所以I?Iy0?0.77?10?8m4
?Fcr??2?210?109?0.77?10?8(2?0.45)29-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时，压杆会在哪个平面内失稳（即失稳时，横截面绕哪根轴转动）？
0 ?19.7kN
F题 9 - 4 图答：最易失稳方向即惯性矩最小方向，也即形心主惯性轴方向
对于圆来说，各个方向的的惯性矩都相同，所以各个方向失稳容易程度相同 对于正方形： 对于长方形：
对于等边三角形： 对于等腰三角形：
对于工字钢： 不等边角钢： 等边角钢：
9-5 在图示结构中，AB为圆截面杆，直径d=80mm, BC杆为长方形截面，边长为60mm×40mm，两杆材料均为钢材，它们可以各自独立发生弯曲而互不影响。已知：E?2?10MPa, ?p?200MPa，A
5
端为固定，B、C为球铰，稳定安全系数k=2.5。试求此结构的许用载荷[P]。
答：[P]=160kN
PA4.5mB1.2mCd解： AB、BC段的柔度分别为：
6040
1?1.2?1040.04230.7?4.5?AB??157.50.02??max??AB?157.5?BC??2E?2?2?1011??cr?2??79.8MPa?max157.52
?cr79.8??31.92MPak2.5
??P???????0.082?160kN4????9-6 图示铝合金桁架承受一集中荷载F，已知两杆的横截面均为50mm×50mm，材料的E=70GPa, 假设失稳只能发生在桁架的平面内，试用欧拉公式确定引起失稳的F值。
FEA1.6 m解：由图知，AE、EC为二力杆，?AEC为90°，cos??α0.9 mC
34，sin??； 55故F1?Fcos??0.6F，F2?Fsin??0.8F,由欧拉公式可知，AE、CE杆的临界荷载分别为：
F1??2EIl12，F2??2EIl22，代入上式得：
F2EFF1FAA1.6m0.9mFCC题 9 - 6 图1.2m
?2EIl12?0.6F ① ?0.8F ②
29?2EIl220.0543.14?70?10??2EI12?149.8kN； 由①得：F??220.6l10.6?20.0543.14?70?10??2EI12?199.7kN； 由②得：F??220.8l20.8?1.529所以失稳的F?149.8kN。
9-7 图示托架承受均布荷载q，撑杆AB为细长杆，其两端铰支，试求q达到何值时，杆AB处于临界状态。
答：q=
?2EI24a3
2aaq30°BA题 9 - 7 图
?2EI?2EI3?2EI解：由欧拉公式可知AB杆的临界荷载为：Fcr???(?l)2(4a)216a23 取梁为研究对象，对梁端取矩，即
1?2MO?2aF?cos60?q(a3)?29得F?qa20