1d?2ens()?(Te?/T?T?2Es(1??/?s)1/2?2Es) （4） 2dx?0（4）要保证右端为正，当|?|??0时显然成立。当|?|较小时，对其线形展开得，
1e2?21e2?2 ?2T4Es化简得玻姆鞘层判据us?uB?(eT1/2)。 M?/Te当阴极鞘层的负偏压较大时，ne?nse
?0，Es???，此时（4）近似等于
enu2e1d?2()?2ss()?1/2(??)1/2 （5） 2dx?0Md?|x?0?0得 dx记J0?ensus，（5）两边开方再积分，注意边界条件?|x?0?0, (??)3/43J2e?(0)1/2()?1/4x （6） 2?0M（6）中带入边界条件?(s)??V0，化简得无碰撞鞘层Child定律
42e1/2V03/2 J0??0()
9Ms2七、设一无碰撞朗谬尔鞘层厚度为S，电压为V，证明：一个初始能量为零的离子穿过鞘层到达极板所需时间为t?3s/v0，这里v0?(2eV/m)1/2。 解：朗缪尔鞘层中电势的分布为 ??3/43J2e?()?1/2()?1/4x （1） 2?0m42e1/2V3/2Child定律为J??0()，带入（1）得鞘层电势分布满足 29ms ???V()由粒子能量守恒得
xs4/3 （2）
12mv??e? （3） 2dxx?v?v0()2/3 （4） dts带入得（2），化简得
对于方程(4)将含x项移到左边，两边乘dt再积分，注意到初始条件x|t?0?0，得
6
32/31/3sx?t （5） v0当粒子到达极板时，有x?s，带入（5）得
t?3s/v0
八、 一个截面为正方形（边长为a）长方体放电容器内，纵向电场维持了定态等离子体，设直接电离项为
?n??in，并忽略温度梯度效应，求： ?t（1）在截面内等离子体密度分布和电离平衡条件：
（2）设纵向电流密度为j?en?eE，给出穿过放电室截面的总电流表达式。 解：1、由平衡态粒子数守恒方程得?Da?2n??in，化简得亥姆霍兹方程 ?2n?k2n?0,k??i/Da （1）
对（1）分离变量法求解。设n?X(x)Y(y)，有
?X??xX?0,?Y??yY?0,?x??y?k （2） 为了保证XY方向的对称性，所以有?x??y???的限制，由（2）得
X?sin?x,Y?sin?y,??m?/a （3） 注意到密度n恒正，所以自然数m只能等于1，由（3）得密度分布和电离条件为
n?n0sin2、总电流为I?2222222?i/2Da，考虑到边界条件n|??0
?xasin?ya,?ia2?2?2Da （4）
aa??jdxdy?e?en0E??sin0022?xasin?yadxdy?8e?en0EDa?i。
九、电子静电波的色散关系为???pe?3222T2kvth，这里vth?e。给出波的相速度和群速2me度；证明在大的波数k时，波的相速度和群速度相等，并给出其值。
23kvthd??证：群速vg?，
222dk2?pe?3kvth/222?pe?3k2vth/2相速vp??k?k，
当k很大时vp?vg?3vth。 2 7
十、一个碰撞阴极鞘层，忽略鞘层中电子密度和电离效应，取离子定向速度为ui?2e?iE，
?Mui推导鞘层中的电场分布、电势分布、碰撞情形Child定律及鞘层厚度与平均自由程的关系式。 解：课件9.2节。
粒子连续性方程满足niui?nsus 带入ui?2e?iEnsus得ni? （1）
(2e?iE/?M)1/2?Mui将（1）代入高斯公式得，
ensusdEeni ??1/2dx?0?0(2e?iE/?M)在鞘层边界近似有E(0)?0，解得电场分布为
E?(3ensus/2?0)2/3(2e?i/?M)?1/3x2/3 （2） 令电势满足?(0)?0，对（2）积分得电势分布为
???(332/3)(ensus)2/3(2e?i/?M)?1/3x5/3 （3） 52?0注意到J?ensus，?(s)??V，所以得到Child定律形式为
253/22e?i1/2V3/2) J?()?0( （4） 5/233?Ms由（4）得鞘层厚度与平均自由程的关系式为
53/52?02/52eV31/51/5)()?i （5） s?()(33?MJ2十一、由流体运动方程，忽略掉粘性应力项，（1）推导出无磁场时电子、离子在等离子体
中的定向速度表达式；（2）忽略温度梯度，证明定向速度为零时，带电粒子遵守波尔兹曼分布。
解：1、课件7章。
无磁场玻尔兹曼积分微分方程
?nfqE?nf?v??nf???vnf? （1） ?tm?t?nf3??n3dv?(nfdv)? （2） ??t?t??t在速度空间上积分。方程(1)左边第一项为
左边第二项为
8
3v??nfdv???vk?k?nf3?dv??(n?vkfd3v)???(nu) （3） ?xkk?xk左边第三项为
qEkqE3??nfdv???mvmkqEk?nf3dv?f???vkmk????0 （4）
右边碰撞项为
?nf3?n??tdv??t （5）
由(2)-(5)得粒子连续性方程 ??(nu)??n?n? （6） ?t?t 方程(1)两端乘上mv，在速度空间上积分。方程(1)左边第一项积分得
?mv?nf3??nu?u?ndv?m?(vnf)d3v?m?mn?mu （7） ?t?t?t?t?t令v?u?w，其中u为定向速度，w为无规则速度。注意u不显含v，第二项积分得
3mvv??nfdv???mvvl?l?nf3dv?m???vvnfd3v ?xl333 ?m(??(uunfdv?uwnfdv?wwnfdv))
???3 ?m((u??)un?u(??nu))?m??(nuwfdv)
? ?m??xe?wnfdv?m???xk2k3kkk?l???wkwlnfd3v （8）
k因为w为无规则速度，(8)第二项等于零；(8)的第四项为粘性应力项，这里忽略为零；(8)的第三项为压强的微观表达式，当粒子分布为各向同性的麦克斯韦分布时
12323wnfdw?nwfdw k??3???22(wx?w21m3/2?2my?wz)222T ?n?dwx?dwy?dwz(wx?wy?wz)( )e3??2?T????m?w21m3/2nT ?n( （9） )4??e2Tw4dw?32?Tm0?所以m??23ewnfdv??nT （10） ?k?kk?xk将粒子连续性方程(6)，等式(10)代入积分(8)，并认为粒子密度n不随空间改变，得 第三项积分得
3mvv??nfdv?mn(u??)u?mu??n?n?mu??nT （11） ?t?t 9
?mvk?qE?qE??vnfd3v????mvkeklnfd3v mm?vlkl?vk?3ekdv)??qnE （12） ?vl ???(?qnEl?fl右边碰撞项积分得
?mv?nf3?n?vf3?n?u3dv?mvfdv?mndv?mu?mn （13） ??t?t?t??t?t由(7)、(11)、(12)、(13)得无磁场时带电粒子在等离子体中的定向速度表达式 mn(?u?u?(u??)u)?qnE??nT?mn （14） ?t?t2、当定向速度u?0并且忽略温度梯度时，稳定状态下方程(7)变为
qnE?T?n?0 （15）
代入E????于方程(8)中，得 q???T?n?0 n ?(q??Tlnn)?0 lnn?lnn0?q? （16） T这里lnn0为积分常数，所以由(16)得到玻尔兹曼分布 n?n0e?q?/T
十二、在等离子体源离子注入中，当负高压脉冲（幅值V）加到金属靶上时，靶表面附近电子立即被排斥出鞘层区域，由于离子质量大，没有来得及运动，留下一个均匀的离子鞘层，设离子密度为常数n, 并假设在鞘层边界电场和电势为零，求平板、柱形和球形靶鞘层内电场和电势分布，以及鞘层厚度表达式。 解：鞘层电势满足泊松方程
?2???en/?0 （1） 1、对于直角坐标系，（1）为
d2?en （2） ??2dx?0（2）积分得
E(x)??en?0x?C1,???en2x?C1x?C2 2?0带入边界条件?(0)??V,E(s)?0,?(s)?0，解得
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