同理有 Y(y)?cos Z(z)?cos?by,?y??b， (3.2)
?cz,?z??c （3.3）
注意到ne(0,0,0)?n0，由(3.1)(3.2)(3.3)得 ne(x,y,z)?n0cos由(2.4)得电离平衡条件
?axcos?bycos?cz （4）
?i111 （5） ???a2b2c2?2Da8-1、Calculate the electric potential and field and the ion density distributions in child law sheath.
解：Child鞘层中，根据粒子能量守恒和电流守恒得
1Mu2??e?，J0?enu （1） 2J02e??1/2(?) （2） eM由(1)解得粒子密度n满足 n?代入泊松方程得
J02e??1/2d2? ??(?) （3） 2dx?0M(3)式两端乘
d?d?|x?0?0，得 并对x积分，注意有?|x?0?0,dxdx
J2e1d?2()?20()?1/2(??)1/2 （4） 2dx?0Md?|x?0?0得 dx(4)两边开方再积分，注意边界条件?|x?0?0, (??)3/43J2e?(0)1/2()?1/4x （5） 2?0M(5)中带入边界条件?(s)??V0，化简得无碰撞鞘层Child定律
42e1/2V03/2 J0??0() （6）
9Ms2将(6)代入(5)，化简得鞘层电势分布 ???V0()对(7)求导得鞘层电场分布
xs4/3 （7）
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E??d?4V0x1/3?() （8） dx3ss将(6)(7)代入(2)，得粒子密度分布 n?4?0V0x?2/3() （9） 29ess*8-2、For a high-pressure, high-voltage, collisional sheath, the ion drift velocity can be written asvi??iE, where?i?e/m?i is the constant ion mobility, with
?i a constant ion-neutral momentum transfer frequency. Using particle con-
servation and Poisson’s equation, derive the high-pressure, collisional child law for ions.
解：由电流守恒方程得
J?enu?en?iE （1） 由(1)得到
n?Je?iE （2）
将(2)代入高斯定理得
dEeJ （3） ?n?dx?0?0?iE在鞘层边界，有E(0)?0，解(3)得 E?(2J?0?i)1/2x1/2 （4）
在鞘层边界，有?(0)?0，对(4)积分得 ???22J1/23/2()x （5） 3?0?i在电极表面，有?(s)??V0，代入(5)得高气压Child定律
V029 J??0?i3 （6）
8s
*为考了原题！
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