（6）图的连法：共10种
合计共5+2+10+10+5+10=42种连法．
18．在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如137、36712等．请问：在1至10000中有多少个这样的多位数？
【分析】本题可分情况进行讨论，分别求出1至10000中一位数，两位数，三位数，四位数、五位数中有多少个奇数的个数比偶数多的数，再相加即可． 【解答】解：一位数中奇数的个数比偶数个数多的数：0个； 两位数中奇数的个数比偶数个数多的数：5×5=25个； 三位数中奇数的个数比偶数个数多的数分两种情况：
①两位数是奇数一位数是偶数，这样的数有5×5×5×3﹣5×5=375﹣25=350个； ②三位数是奇数，这样的数有：5×5×5=125个； 四位数中奇数的个数比偶数个数多的数分两种情况：
①三位数是奇数一位数是偶数，这样的数有5×5×5×5×4﹣5×5×5=2500﹣125=2375个； ②四位数是奇数，这样的数有：5×5×5×5=625个； 五位数即10000中没有；
1至10000中有共有这样的数： 25+350+125+2375+625=3500个
答：1至10000中有3500个这样的数．
19．有些自然数存在相邻的两位数字顺次为7和5，例如1975、75675等，但432579．不算在内．请问：具有这种性质的六位数有多少个？
【分析】此题分为以下几种情况：①当75在首位时，剩余4位数字随意选；②当75不在首位时，75看作一个整体，位置有4种情况；③对于最高位的数有1﹣9共9种选择，剩余的3个数都有10种选择．求出每种情况的个数，解决问题．
【解答】解：当75在首位时，剩余4位数字随意选，有10×10×10×10=10000（个）， 当75不在首位时，75看作一个整体，位置有4种情况（在23，34，45，56位）， 对于最高位的数有1﹣9共9种选择，剩余的3个数都有10种选择，一共有4×9×10×10×10=36000（个）
具有这种性质的六位数有10000+36000=46000（个）．
第11页（共23页）
20．用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字．请问：这样的九位数共有多少个？ 【分析】1，2有12，21都可以．3可以加两边，所以有2×2种；4继续加两边，有2×2×2种；9个数是8个2相乘．据此解答． 【解答】解：1，2有12，21都可以． 3可以加两边，所以有2×2种． 4继续加两边，有2×2×2种．
8
9个数是8个2相乘，即2=256种． 答：这样的九位数共有256个． 21．一个七位数，每位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有 1224 个．
【分析】首先从1开始分析：从没有1到最多4个1，逐一分析探讨七位数的个数，再进一步合并即可．
7
【解答】解：当没有1时，每一个位置都有两种选择，一共有2=128个； 当有1个1时，1有7个位置，而2或者3有6个位置可选，一共有以此类推，当有2个1时，一共有当有3个1时，一共有
3
4
×2=448个，
6
×2=480个，
5
×2=160个，
当有4个1时，一共有2=8个，
所以这样的七位数一共有128+448+480+160+8=1224个． 故答案为：1224． 22．满足下面性质的四位数称为“好数”：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如1346、2579是好数，但1567就不是好数．请问：一共有多少个好数？
【分析】此题运用枚举法解答：①百位比千位大1，十位比百位大1，个位比十位大1；②两个1、一个2；③两个2、一个1；④三个2：千位有3种取法；⑤两个1、一个3；⑥两个3、一个1；⑦三个3；⑧两个2、一个3；⑨两个3、一个2；还有一种：一个1、一个2、一个3．
把这几种情况的取法求出来后相加即可．
【解答】解：三个1：百位比千位大1，十位比百位大1，个位比十位大1，其实就是千位随便取，后面每个大1．这时为了保证个位≤9，千位有6种取法，所以有6个数．
两个1、一个2：千位有5种取法．两个1、一个2的安排方法有3种，所以有15个数． 两个2、一个1：千位有4种取法，有12个数． 三个2：千位有3种取法，有3个数． 两个1、一个3：4×3=12个数． 两个3、一个1：2×3=6个数． 三个3：0个数．
两个2、一个3：2×3=6个数． 两个3、一个2：1×3=3个数．
第12页（共23页）
一个1、一个2、一个3：3×6=18个数．
总共有：6+15+12+3+12+6+6+3+18=81（个） 答：一共有81个好数．
三、超越篇
23．一个九位数，它只由数字l、2和3组成，而且它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，这样的自然数有多少个？如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次，则这样的九位数有多少个？
【分析】它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，即1后面可能是1或3，2后面只能是3，3后面可能是2或3．
当九位数以2开头，232333232，不满足数字1、2和3每个数字都至少出现一次，可发现九位数以2和3开头都不符合要求，因此只能以1开头，111111132；111111323；111111332…． 【解答】解：它的任意连续两位数都不等于12、21、22或31，即1后面可能是1或3，2后面只能是3，3后面可能是2或3．共177个． 由以上分析，如果还要求数字1、2和3每个数字都至少出现一次，只能以1开头，111111132；111111323，111111332；111113232，111113232，111113233，111113233…； 因此共有：1+2+4+7+12+20+33=79（个）
答：这样的自然数有177个，这样的九位数有79个． 24．（1）如果在一个平面上画出8个三角形，最多可以把平面分成多少个部分？
（2）如果在一个平面上画出3个四边形、2个圆、l条直线，最多可以把平面分成多少个部分？ 【分析】（1）一个三角形可把平面分成两部分，第2个三角形最多和第1个三角形有6个交点，平面增加了6部分，所以可把平面分成：2+6=8个部分；第3个三角形最多和前两个三角形有12个交点，平面增加了12部分，所以可把平面分成：2+6+12=20个部分；同理，第4个三角形可把平面分成：2+6+12+18=20个部分，…；所以n个三角形可把平面分成的部分数为：2+6+12+18+24+…=2+3n（n﹣1），据此解答即可．
（2）3个四边形最多可以把平面分成26部分，2个圆可以把平面分成4个部分，再画一条直线，那么这条直线最多和前面的2个圆有4个交点，会多出4个部分，所以2个圆和一条直线最多把平面分成4+4=8个部分． 【解答】解：（1）根据分析，可得 2+3×8×（8﹣1） =2+168 =170（个）
答：8个三角形最多可以把平面分成170个部分．
（2）3个四边形最多可以把平面分成26部分， 2个圆可以把平面分成4个部分，再画一条直线，
那么这条直线最多和前面的2个圆有4个交点，会多出4个部分， 所以2个圆和一条直线最多把平面分成4+4=8个部分， 则最多可以把平面分成：26+8=34（个）． 答：最多可以把平面分成34个部分．
25．如图所示，阴影部分是一个圆环，4条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分？
第13页（共23页）
【分析】如图，当4条直线两两相交时，最多可以把这个阴影分成13个部分，据此解答即可．
【解答】解：如图，当4条直线两两相交时，最多可以把这个阴影分成13个部分．
26．用15个1×2的小纸片覆盖如图，共有多少种不同的覆盖方法？
【分析】总共有8行，不妨把n行的方法数记为f（n），按如图编辑数字，不妨先考虑6号方格，
（1）6，7一起，则必有3，2一起，1，4一起，5，8一起，此时的方法数为f（6）； （2）6，3一起，则必有7，10一起，11，14一起，15，18一起，19，22一起，23，26一起，27，30一起，29，28一起，25，24一起，21，20一起，17，16一起，13，12一起，9，8一起，剩下的1，2，4，5共2种；
（3）6，5一起，同（2）一样的分析过程，只有1种； （4）6，9一起，同（3），1种；
第14页（共23页）
所以f（8）=f（6）+2+1+1=f（6）+4，f（8）变f（6）的时候去掉了编号前8个，同样的有f（6）=f（4）+4，f（4）=f（2）+4，f（2）=3，f（2）的时候只剩最后6个，所以f（8）=4+4+4+3=15种． 【解答】解：如图：
（1）6，7一起，则必有3，2一起，1，4一起，5，8一起，此时的方法数为f（6）； （2）6，3一起，则必有7，10一起，11，14一起，15，18一起，19，22一起，23，26一起，27，30一起，29，28一起，25，24一起，21，20一起，17，16一起，13，12一起，9，8一起，剩下的1，2，4，5共2种；
（3）6，5一起，同（2）一样的分析过程，只有1种； （4）6，9一起，同（3），1种；
所以f（8）=f（6）+2+1+1=f（6）+4，f（8）变f（6）的时候去掉了编号前8个，同样的有f（6）=f（4）+4，f（4）=f（2）+4，f（2）=3，f（2）的时候只剩最后6个，所以f（8）=4+4+4+3=15种． 27．（2011?西安校级自主招生）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1．如此进行直到为l时操作停止．问：经过9次操作变为1的数有多少个？
【分析】本题可以通过所给的变换规律，由易到难，确定操作可变为1的数组成斐波拉契数列，再根据所发现的规律求出经过9次操作变为l的数的个数． 【解答】解：通过1次操作变为1的数有1个，即2； 经过2次操作变为1的数有2个，即4、1； 经过3次操作变为1的数有2个，即3、8； …；
经过6次操作变为1的数有8个，即11、24、10、28、13、64、31、30；
经过1、2、3、4、5…次操作变为1的数依次为1、2、3、5、8…，这即为斐波拉契数列， 后面的数依次为：5+8=13，13+8=21，21+13=34，34+21=55． 即经过9次操作变为1的数有55个． 答：经过9次操作变为1的数有55个． 28．用4种不同的颜色将如图中的圆圈分别涂色，要求有线段连结的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色，共有多少种涂法？（不允许旋转、翻转图）
第15页（共23页）