【分析】先给各个圆圈命名，如图，最中间的E和其它圆圈相连最多，先从E着手，如果E有4种不同的涂色方法，那么与之相连的B有3种涂色的方法，C与B、E都相连，那么C有2种涂色的方法，同理F、I、H、D各有2种不同的涂色方法，与B、C都相连的A有2种不同的涂色方法，同理，G、J各有2种涂色的方法，根据乘法原理它们的积就是全部涂色的方法．
【解答】解：最中间的圆圈有4种涂色的方法，与它相连的圆圈B有3种涂色的方法，其它圆圈就各有2种涂色的方法，一共是： 4×3×2×2×2×2×2×2×2×2=3072（种） 答：共有3072种涂法．
29．圆周上有15个点A1，A2，…，A15，以这些点为顶点连出5个三角形，要求任意两个三角形没有公共点，共有多少种连接方式？
【分析】圆周上15个点，意味着任意从中取出3个点都可以构成三角形，依题意不管怎么接，每种接法里都有且仅有5个三角形，针对具体某个点如A1，从A1外的14个点中任意取出2个点与A1构成三角形的个数为
，这91个三角形是没有相同的，意味着如果先从
A1点连接的话，至少是有91种连接方式；所以最多有91种接法．
【解答】解：圆周上15个点，意味着任意从中取出3个点都可以构成三角形，那么十五个点可以一共构成
=
=5×7×13=455个三角形；
依题意不管怎么接，每种接法里都有且仅有5个三角形，则最多有：
=
=7×13=91种接法；
答：共有91种不同连接方式．
30．有一年级到六年级的同学各一人，排成一列领取糖果．如果一个高年级的同学站在一个低年级的同学前面，那么这个低年级的同学就会产生一次“怨言”（一个人可以有多次“怨言”）．在一种排列顺序里，我们把所有“怨言”的总数叫“怨言数”．例如：六位同学按下面的顺序排列：一年级、四年级、三年级、二年级、六年级、五年级，那么这六位同学产生的“怨言”次数依次为0、0、l、2、0、l，这种排列的“怨言数”就是4．请问：有多少种“怨言数”为7的排列顺序？
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【分析】先对6个儿童进行编号，一年级的儿童为1号，二年级的为2号，…，六年级的为6号．
下面对这六名儿童进行排队，先排1号，再排2号，依此类推： （1）排1号：只有一个人，怨言数为0；
（2）排2号：有两种选择，可能增加0或1个“怨言”； （3）排3号：有3个选择，可能增加0、1或2个“怨言”； …
由此逐步找出6人时的可能．
【解答】解：先对6个儿童进行编号，一年级的儿童为1号，二年级的为2号，…，六年级的为6号．
下面对这六名儿童进行排队，先排1号，再排2号，依此类推： （1）排1号：只有一个人，怨言数为0；
（2）排2号：有两种选择，可能增加0或1个“怨言”； （3）排3号：有3个选择，可能增加0、1或2个“怨言”； …
同理，排4号会可能增加0、1、2、3个“怨言”，排5号可能增加0、1、 2、3、4个“怨言”，排6号可能增加0、1、2、3、4、5个“怨言”．
接下来，我们构造如下梯子，排1号，怨言数为0，在第一层；排2号时， 最多可以向上爬1层；排3号时，最多可以向上爬2层；??；排6号时，最多 可以向上爬5层．现在我们可以将到达每个点的路线数量写在每个点的右上 角，怨言数为7，即排完6号时到达第七层，共有101条路线，即“怨言数” 为7的排列顺序有101种．
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参与本试卷答题和审题的老师有：xuetao；TGT；73zzx；zcb101；wdzyzlhx；guangh；齐敬孝；pysxzly；奋斗；lqt；pengh；ZGR（排名不分先后） 菁优网
2016年5月22日
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考点卡片
1．通过操作实验探索规律 【知识点归纳】
【命题方向】 常考题型：
例：小红把10根绳子打结连起来，变成一根长绳，这根长绳上有（ ）个结． A、10 B、9 C、8
分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结…，以后每增加一根绳子就增加一个结，而结的数量要比绳子的数量少一． 解：结的数量要比绳子的数量少1，10跟绳子有： 10﹣1=9（个）；
答：10根绳子有9个结． 故选：B．
点评：本题关键是打结处的理解，每相邻的两根绳子就会有1个结，由此找出规律求解．
2．数字问题 【知识点归纳】
1．数字问题的主要题型：
数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少． 2．核心知识 （1）数字的拆分
是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等． （2）数字的排列与位数关系
解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解．
【命题方向】 常考题型：
例1：在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数有（ ）个5． A、213 B、187 C、133 D、80
分析：先求出400里面有几个3，就是1﹣400中有多少个数能被3整除，再求出400里面有几个5，就是1﹣400中有多少个数能被5整除；能同时倍3和5整除的数是15的倍数；求出400里面有多少个15，就是能同时被3和5整除的数，然后用3的倍数的个数加上5的倍数的个数然后减去15的倍数的个数即可． 解：1到400中能被3整除有：400÷3≈133（个）； 1到400中能被5整除有：400÷5=80（个）；
1到400中既能被3也能被5整除有：400÷（3×5）≈26（个）；
在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数：133+80﹣26=187（个）；
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故选：B．
点评：本题要注意能同时被3和5整除的数，是重复计算的数字．
例2：自然数12321，90009，41014 …有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么具有这种“特征”的五位偶数有 400 个．
分析：倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数万位和个位有2，4，6，8这4种选择；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择．可以组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶数则有4×10×10=400个．
解：根据分析，倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数有4×10×10=400个． 答：具有这种“特征”的五位偶数有400个． 故答案为：400．
点评：根据这种数的特征，分析各对称数位会出现的数字可能，把出现可能的种数相乘即可得这种特征数的个数．
3．数字和问题 【知识点归纳】
题型：给出一个多位数的各位的数字之和，然后以一定的方式改变数字的位置，再次得到一个数．告诉新得到的数字和原来的数字之差或者之和，求算原来的数字．
【命题方向】 常考题型：
例1：5个连续自然数的和是315，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（ ）
A、360 B、340 C、350 D、无法求出
分析：根据“5个连续自然数的和是315”，先求出这5个连续自然数，那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数也就出来了，求和即可．
解：5个连续自然数的和是315，那么中间的数是315÷5=63，这5个连续的数是61、62、63、64、65；
紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数分别是66、67、68、69、70，和为：66+67+68+69+70=340． 故选：B．
点评：此题考查学生对连续自然数的求法，对于此类问题一般应先求出中间数．
经典题型：
例2：将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？
分析：本题可更理解为把100最多能分解为多少个不同加数的和，就先找到10个小朋友平均每人分几个100÷10=10个，因为10是偶数，所以中间两个是9和11，故
100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15，共有10个加数，每个小朋友的苹果个数互不相同，所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果． 解：100=5+6+7+8+9+11+12+13+14+15， 因为共有10个不同的加数．
所以分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
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