答：分得苹果个数最多的小朋友，至少得到15个苹果．
点评：完成本题要注意抓住“苹果个数互不相同”就可以看作是几个不同加数的和，来进行分析解答．
【解题方法点拨】
解决方法：使用一元一次方程的方法，将整数拆成1，10，100的关于未知数的和．然后进行相减或者相加，即可解出未知数x．
4．组合图形的计数 【知识点归纳】
1．组合图形的概念：
圆，三角形，正多边形，梯形，平行四边形为基本图形其余的为组合图形，可以用辅助线分解为基本图．
2．组合图形的计数实质上就是分类数图形，解决方法是： （1）合理进行分类．
（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算． （3）将所有的类的数量进行相加． （4）仔细检查，防止遗漏．
【命题方向】 常考题型：
例1：试数出下图有多少个三角形．
【分析】三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形，根据概念找出图中图形的个数． 解：单个三角形组成的三角形有8个， 2个三角形组成的三角形有4个， 4个三角形组成的三角形有4个， 8+4+4=16（个）． 答：有16个三角形．
【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．
5．排列组合 【知识点归纳】
排列组合的综合应用具有一定难度．突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石．其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析．有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握．
【命题方向】
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经典题型：
例1：教务处编排某班某日上午的课程表（上午只上5节课）．该班拟安排语文、数学、英语、科学和体育（每科只上一节课），但规定体育不安排在第一节课．问安排的课程表可能有几种？
分析：第一节课是从除体育外的4科中选择一科，有4种不同的选择方法；第二节从剩下的4科中选择1科，也有4种选择方法，第三节从剩下的3科中选择1科，有3种选法；第四节从剩下的2科中选择1科，有1种选法；第五节就是剩下的1科，有1种选法；根据乘法原理它们的积就是全部的选择方法． 解：4×4×3×2×1， =16×3×2×1， =96（种）；
答：安排的课程表可能有96种．
点评：分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．
例2：如图中 A、B、C、D、E 五个区域，以红、黄、蓝三色去涂，相邻区域涂上不同颜色，共有多少种涂法？
分析：首先，可以将红、黄、蓝任一颜色去涂A区．由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A=3，B=2，C=1，D=1，E=1，运用乘法原理即可解决问题．
解：将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A=3，B=2，C=1，D=1，E=1．
共有涂法：3×2×1×1×1=6（种）． 答：共有6种涂法．
点评：解答此题的关键是通过题意，进行分析，首先将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，然后逐步推出A、B、C、D、E可涂上的颜色数目，解决问题．
6．筛选与枚举 【知识点归纳】
通过把符合要求的一一列举出来，从而得到答案，这种解答问题的方法叫做“枚举法”，通常也称为“穷举法”，在解答很多有趣的数学问题时，经常用到这种方法．
【命题方向】 经典题型：
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例1：现有1克，2克及5克砝码各四枚，如果用它们来组合成23克，问有多少个不同的组合方法？
分析：首先分析出如果5克的砝码有4枚，5×4=20（克），23﹣20=3（克），可分为1克、2克的砝码各有1枚以及3枚1克的砝码两种情况；然后逐一根据5克砝码的枚数确定符合情况的1克、2克砝码的枚数，所有满足的情况数相加即可． 解：如果5克的砝码有4枚，5×4=20（克），23﹣20=3（克），可分为1克、2克的砝码各有1枚以及有3枚1克的砝码两种情况． 如果5克的砝码有3枚，5×3=15（克），23﹣15=8（克），可分为以下几种情况：
①有4枚2克的砝码；②有3枚2克的砝码和2枚1克的砝码；③有2枚2克的砝码和4枚1克的砝码．
所以5克的砝码有3枚时，共有3种情况． 如果5克的砝码有2枚，5×2=10（克），23﹣10=13（克），13÷2=6…1，即2克的砝码至少也需要6个，还得再加上1枚1克的砝码，所以没有符合的情况． 如果5克的砝码有1枚，5×1=5（克），23﹣5=18（克），18÷2=9，即2克的砝码至少也需要9个，所以没有符合的情况．
综上所述，共有5个不同的组合方法． 答：共有5个不同的组合方法．
点评：此题考查了学生排列组合方面的知识以及学生的分析推理能力，注意1克，2克及5克砝码各四枚是本题的一个突破点，可以减少很多种情况的分析．
例2：商场出售一种运动鞋每双售价60元，为了促销，商场规定：买一双的按原价，买两双的每双减价5元，买3双的每双减价10元．结果有85人共买了155双这种运动鞋（每人不超过3双）销售收入8390元．这85人中买1双、2双、3双运动鞋的各有多少人？ 分析：解答此题可以分情况分析讨论：若85人都买3双，则需要买85×3=255（双），比实际多买：255﹣155=100（双），把其中的50人调整为各买1双，即当35人各买3双，50人各买1双时符合，85人买155双的条件这时销售收入为35×3×（60﹣10）+50×60=8250（元）；将1人3双和1人1双调为2人2双，做这样调整买鞋的人数和双数都保持不变，但销售收入增加8390﹣8250=140元，2×2×（60﹣5）﹣[1×3×（60﹣10）+1×1×60]=10（元），增加140元需调整140÷10=14（次），所以买3双鞋的有：35﹣14=21（人），据此即可解答． 解：若85人都买3双，一共买鞋：85×3=255（双）， 比实际多买：255﹣155=100（双），
把其中的50人调整为各买1双，即当35人各买3双，50人各买1双时符合85人买155双的条件这时销售收入为：
35×3×（60﹣10）+50×60=8250（元） 将1人3双和1人1双调为2人2双，做这样调整买鞋的人数和双数都保持不变，但销售收入增加
2×2×（60﹣5）﹣[1×3×（60﹣10）+1×1×60]=10（元）． 增加140元需调整140÷10=14（次）． 所以买3双鞋的有：35﹣14=21（人）， 买1双鞋的有：50﹣14=36（人）， 买2双鞋的有：2×14=28，
答：买1双的36人．2双的28人，3双的21人．
点评：此题是较复杂的推理问题，要弄清题意，分情况分析推理．
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