第一章 事件与概率
1、若A，B，C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)ABC?A；(2)A?B?C?A；(3)AB?C；(4)A?BC. 2、试把A1?A2???An表示成n个两两互不相容事件的和．
3、若A，B，C，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而C，D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 4、证明下列等式：（1）Cn?2Cn?3Cn???nC（2）Cn?2Cn?3Cn???(?1)a?r123n?1123nn?n2n?1；
nCn?0；
n（3）
?Ck?0k?raka?rCb?Ca?b.
5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
8、在一个装有n只白球，n只黑球，n只红球的袋中，任取m只球，求其中白、黑、红球分别有m1,m2,m3(m1?m2?m3?m)只的概率。
9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
10、由盛有号码1,2,?，N的球的箱子中有放回地摸了n次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 11、任意从数列1,2,?，N中不放回地取出n个数并按大小排列成：x1?x2???xm???xn，试求xm?M的概率，这里
1?M?N。
12、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？
13、从n双不同的鞋子中任取2r(2r 14、袋中有n只球，记有号码1,2,?,n，求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球，号码1,2,3,中至少出现一个。 15、袋中装有1,2,?,N号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。 16、甲有n+1个硬币，乙有n个硬币，双方投掷之后进行比较，求早掷出的正面比乙掷出的正面多的概率。 17、一颗骰子投4次至少得到一个六点，与两颗骰子投24次至少得到一个双六这两件事，哪一个有更多的机会遇到？ 18、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。 19、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A集中在一个人手中的概率。 20、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A打头的同花顺次五张牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况。 21、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到有可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一船要在江中等待的概率。 22、两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。 23、设A1,A2,?,An是随机事件，试用归纳法证明下列公式： 1 nP(A1?A2???An)??P(A)??P(Aii?1n?j?i?1iAj)???(?1)n?1P(A1A2?An)。 24、考试时共有N张考签，n个学生参加考试(n?N)，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽过的概率。 25、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲，乙，丙胜每局的概率各为1/2，问甲，乙，丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？ 26、给定p?P?A?,q?P?B?,r?P?A?B?，求P?AB?及PAB。 27、已知：P?AB??P?A?P?B?,C?AB,C?AB，证明：P(AC)?P(A)P(C)。 28、（1）已知A1与A2同时发生则A发生，试证：P(A)≥P(A1)?P(A2)－1 （2）若A1A2A3?A，试证：P(A)≥P(A1)?P(A2)?P(A3)-2 29、利用概率论的想法证明下列恒等式： ??1?A?aA?1?(A?a)(A?a?1)(A?1)(A?2)???(A?a)?2?1(A?1)?(a?1)a?Aa 其中A，a都是正整数，且A?a。 30、证明?的一切子集组成的集类是一个??域。 31、证明：??域之交仍为??域。 32、向边长为 a 的正方形由任意投一点，求此点正好落在对正方形对角形上的概率? 33、在10只电子表中有2只是次品，现从中不放回的连续抽取两次，每次抽取一只，求正好抽到一个是正品，一个是次品的概率? 34、在5双不同的鞋中任取4双，求至少能配成一双的概率? 35、在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少? 36、两人相约于7点到8点间在某地相会，约定先到者等候另一人20分钟,过时离去，试求这两人能会面的概率是多少? 37、有10个电阻，其电阻值分别为1?,2?,?,10? ，从中取出三个，要求取出的三个电阻，一个小于5?,一个大于5?,另一个等于5?，问取一次就能达到要求的概率。 38、两船欲靠同一码头，设两船独立地到达，而且各自到达时间在一昼夜间是可能的，如果此两船在码头停留的时间分别是1及2小时，试求一船要等待空出码头的概率。 39、任意取两个正的真分数，求它们的乘积不大于1/4的概率。 40、在区间(0,1)中随机取两数，求两数之和小于1.2的概率。 41、设3个事件A，B，C，满足AB??，求P(A?B?C)。 42、某城市中发行2种报纸A，B。经调查，在这2种报纸的订户中，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，同时订阅2种报纸A，B的有10%。求：（1）只订A报的概率；（2）只订1种报纸的概率。 43、从1,2,3,4,5五个数码中，任取3个不同数码排成三位数，求：（1）所得三位数为偶数的概率；（2）所得三位数为奇数的概率。 44、电话号码由6个数字组成，每个数字可以是0,1,2,?,9中的任一个数（但第1个数字不能为0），求电话号码由完全不相同的数字组成的概率。 45、袋中有5个白球和3个黑球。从中任取2个球，求：（1）取得的2个球同色的概率；（2）取得的2个球至少有1个是白球的概率。 2 46、证明： P(AB)?P(AC)-P(BC) ?P(A) 47、证明：包含一切形如(??,x)的区间的最小??域是一维波雷尔??域。 第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a只黑球，b吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（b?3）。 5、从{0，1，2，?，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有?吸白球，?吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N个袋子，每个袋子中将有a只黑球，b只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 8、投硬币n回，第一回出正面的概率为c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p，求第n回时出正面的概率，并讨论当n??时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn，qn，rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn，qn，rn表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当n??时的情况。 ?apn,?ap10、设一个家庭中有n个小孩的概率为 pn??1?,?1?p?n?1,n?0, 这里0?p?1,0?a?(1?p)/p。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有k(k?1)个男孩的概率为 2apk/(2?p)k?1。 11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A，B，C三事件相互独立，求证A?B,AB,A?B皆与C独立。 14、若A，B，C相互独立，则A,B,C亦相互独立。 15、证明：事件 A1,A2,?,An相互独立的充要条件是下列2n个等式成立： ?A??A?)?P(A?)P(A?)?P(A?)， P(A12n12n?取A或A。 其中Aiii16、若A与B独立，证明{?,A,A,?}中任何一个事件与{?,B,B,?}中任何一个事件是相互独立的。 17、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。 3 18、设A1,A2,?,An相互独立，而P(Ak)?pk，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。 19、当元件k或元件k1或k2都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。 20、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。 21、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。 22、掷硬币出现正面的概率为p，掷了n次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次正面。 23、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？ 24、甲，乙均有n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。 25、在贝努里试验中，事件A出现的概率为p，求在n次独立试验中事件A出现奇数次的概率。 26、在贝努里试验中，若A出现的概率为p，求在出现m次A之前出现k次A的概率。 27、甲袋中有N?1只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去，这样经过了n次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论n??时的情况。 28、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10个或更多个终端同时操作的概率。 29、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率。 30、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两面三刀个以上的人生于元旦的概率是多少？ 31、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错字的概率。 32、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入5只试管中，每试管放2毫升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。 33、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2分钟内有多于一车的概率。 34、若每蚕产n个卵的概率服从普阿松分布，参数为?，而每个卵变为成虫的概率为p，且各卵是否变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k只小蚕的概率。 35、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？ 36、在人群中男人患色盲的占5%，女人患色盲的占0.25%，今任取一人后检查发现是一个色盲患者，问它是男人的概率有多大? 37、四种种子混在一起，所占的比例是甲：乙：丙：丁=15：20：30：35，各种种子不同的发芽率是： 2%，3%，4%，5%，已从这批种子中任送一粒观察,结果未发芽，问它是甲类种子的概率是多少? 38、对同一目标由3名射手独立射击的命中率是0.4、0.5,和0.7，求三人同时各射一以子弹而没有一发中靶的概率? 39、有两个袋子，每个袋子装有a只黑球，b只白球，从第一个中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中取出一黑球的概率是多少？ 40、已知产品中96%是合格的，现有一种简单的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。 41、某射手用A,B,C三支枪各向靶射一发子弹，假设三支枪中靶的概率分别为0.4,0.3,0.5，结果恰有两弹中靶，问A枪射中的概率为多少? 42、已知产品中96%是合格的，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05,求此简化法检查下为合格品的一个产品确实是合格品的概率。 43、设第一个盒子中有两个白球和一个黑球，第二个盒中有三个白球和一个黑球，第三个盒子中有两个白球和两个黑球。此三个盒子外形相同，某人任取一个盒子，再从中任取一个球，求他取得白球的概率。 44、用血清蛋白的方法诊断肝癌，令C?“被检查者患有肝癌”，A?“判断被检查者患有肝癌”。设 P(C)?0.000P4,A (C?/)0P.9A5,C?(现有一个人诊断患有肝癌，求他确有肝癌的概率。 /45、一批零件共100个，次品有10个。每次从其中任取1个零件，菜取3次，取出后不放回。示第3次才取得合格品的概率。 46、10个零件中有3个次品，7个合格品，每次从其中任取1个零件，共取3次，取后不放回。求：（1）这3次都抽不到合格品的概率； 4 （2）这3次至少有1次抽到合格品的概率。 47、一批产品中有15%的次品。进行独立重复抽样检查，问取出的20个样品中最大可能的次品数是多少？并求其概率。 48、一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布。求（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；（2）每分钟呼唤次数不超过10的概率。 49、有一汽车站有大量汽车通过，设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001。在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于的概率。 50、某商店出售某种贵重物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件才能以99。2%的概率充分满足顾客的需要？ 51、从某厂产品中任取200件，检查结果发现其中有4件废品。我们能否认为该产品的废品率不超过0.005？ 52、若A,B,C是三个独立的事件，则A.B.C亦是独立的。 53、设P(A)>0，若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B)。 54、若A,B,C相互独立，则A?B和C及A-B与C亦独立。 55、设P(A)>0, P(B)>0， 证明A和B相互独立与A和B互不相容不能同时成立。 56、求证：如果P(A|B)?P(A)，则P(B|A)?P(B)。 57、证明：若事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B相互独立。 58、设A，B，C三事件相互独立，求证A?B,AB,A?B皆与C独立。 59、若A，B，C相互独立，则A,B,C亦相互独立。 60、若A与B独立，证明{?,A,A,?}中任何一个事件与{?,B,B,?}中任何一个事件是相互独立的。 第三章 随机变量与分布函数 1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p或1?p向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以Sn表示时间n时质点的位置）。 2、设?为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求?的概率分布。 k3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）f(k)?cN,k?1,2,?,N;（2）f(k)?c?k!,k?1,2,?, ??0。 4、证明函数f(x)?12e?|x|(???x??)是一个密度函数。 5、若?的分布函数为N（10，4），求?落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。 6、若 ?的分布函数为N（5，4） ，求a使：（1）P{??a}?0.90；（2）P{|??5|?a}?0.01。 7、设F(x)?P{??x}，试证F(x)具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）F(??)?0, F(??)?1。 8、试证：若P{??x2}?1??,P{??x1}?1??，则P{x1???x2}?1?(???)。 5