??A(R?70、设随机向量(X,Y)的概率密度为：f(x,y)????0,域G:x?y?r（r?R）中的概率。
71、设二维连续随机向量(X,Y)的概率密度为：
222x?y,22x?y?R其它222，求：（1）常数A；（2）(X,Y)落地圆
f(x,y)?6?(4?x)(9?y)222 ???x???,???y???
求：（1）(X,Y)的分布函数；（2）关于X及关于Y的边缘分布函数。
?e?y,72、设二维连续随机向量(X,Y)的概率密度为：f(x,y)???0,0?x?y其它，求关于X及关于Y的边缘概率密度。
73、设X与Y相互独立，且X服从均匀分布U[?a,a]，Y服从正态分布N(b,?)。求Z?X?Y的概率密度。
2?1(1?sinxsinysinz)?74、若(?,?,?)的密度为(p(x,y,z)??8?3?0?0?x,y,z?2?其它，则?,?,?两两独立，但不相互独立。
?e?x75、若?,?相互独立，且同服从指数分布，密度函数为：p(x)???0nx?1??122xe??n/2n76、证明：p(x)??2?()2?0??x?0x?0，证明：?+?与
??相互独立。
x?0 为一概率密度函数。
x?o77、设R,V?,?分别服从参数为?1、?2的普阿松分布，且相互独立，求证：????? 服从参数为?1??2的普阿松分布。 78、证明函数f(x)?12e?|x|(???x??)是一个密度函数。
79、设F(x)?P{??x}，试证F(x)具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）F(??)?0, F(??)?1。 80、试证：若P{??x2}?1??,P{??x1}?1??，则P{x1???x2}?1?(???)。 81、设随机变量?取值于[0，1]，若P{x???y}只与长度y?x有关（对一切
0?x?y?1），试证
?服从[0，1]均匀分布。
82、定义二元函数F(x,y)??持非负。
2?1,?0,x?y?0x?y?0。验证此函数对每个变元非降，左连续，且满足（2.6）及（2.7），但无法使（2.5）保
83、试证f(x,y)?ke?(ax?2bxy?cy)2为密度函数的充要条件为a?0,c?0,b2?ac?0, k?ac?b2?。
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84、若f1(x),f2(x),f3(x)是对应于分布函数F1(x),F2(x),F3(x)的密度函数，证明对于一切?(?1???1)，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数f1(x),f2(x),f3(x)：
f1(x),f2(x),f3(x)?f1(x1),f2(x2),f3(x3){1??[2F1(x1)?1]?[2F2(x2)?1]?[2F3(x3)?1]}。
??1?(1?sinxsinysinz),85、设(?,?,?)的联合密度函数为 p(x,y,z)??8?3???0,试证?,?,?两两独立，但不相互独立。
86、若?1与?2是独立随变量，均服从普要松分布，参数为?1?2及，试直接证明 （1）?1??2具有普承松分布，参数为?1??2；
0?x?2?当0?y?2?时0?z?2?其它
（2）P{?1?k|?1??2?n???1?n}??????k???1??212????k??2?????2?1????n?k。
87、若?,?相互独立，且皆以概率
取值+1及?1，令????，试证?,?,?两两独立但不相互独立。
288、若气体分子的速度是随机向量V?(x,y,z)，各分量相互独立，且均服从N?(0,?马克斯威尔分布。
89、求证，如果?与?独立，且分别服从??分布G(?,r1)和G(?,r2)，则???与
)，试证S?x?y?z222斑点服从
??也独立。
90、证明：?是一个随机变量，当且仅当对任何x?R成立 {?:?(?)?C}?F。
第四章
数字特征与特征函数
1、设?是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每次试验中P(A)?p，再设随机变量?视?取偶数或奇数而取数值0及1，试求E?及D?。
2、袋中有k号的球k只，k?1,2,?,n，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量?取非负整数值n?0的概率为pn?ABni/n!，已知E??a，试决定A与B。
4、袋中有n张卡片，记号码1,2,?,n,从中有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和?的数学期望及方差。
?5、试证：若取非负整数值的随机变量?的数学期望存在，则E???P{?k?1?k}。
6、若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为p(x)?12??|x??|e?,???x??, ??0。试求E?，D?。
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7、若?1,?2相互独立，均服从N(a,?2)，试证Emax(?1,?2)?a???。
8、甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中装有?只白球?只黑球，现从甲袋中摸出c(c?a?b)只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。
9、现有n个袋子，各装有a只白球b只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n次摸球中所摸得的白球总数为Sn，求Sn。
10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。 11、若?的密度函数是偶函数，且E?2??，试证?与?不相关，但它们不相互独立。
22?1?,12、若?,?的密度函数为p(x,y)????0,?x?y?1x?y?122，试证：?与?不相关，但它们不独立。
13、若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 14、若U?aX?b,V?cY?d，试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数。 15、若?1,?2,?3是三个随机变量，试讨论（1）?1,?2,?3两两不相关；
（2）D(?1??2??3)?D?1?D?2?D?3；（3）E?1?2?3?E?1?E?2?E?3之间的关系。
16、若?,?服从二元正态分布，E??a,D??1,E??b,D??1。证明：?与?的相关系数r?cosq?，其中
q?P{(??a)(??b)?0}。
17、设(?,?)服从二元正态分布，E??E??0,D??D??1,r???r，试证：Emax(?,?)?(1?r)?。
18、设?与?独立，具有相同分布N(a,?)，试求p??q?与u??v?的相关系数。 19、若?服从N(a,?)，试求E|??a|。
20、若?及?分别记二进制信道的输入及输出，已知P{??1}?p,P{??0}?1?p, P{??1??1}?q，
2k2P{??0??1}?1?q,P{??1???0}?r,P{??0??0}?1?r，试求输出中含有输入的信息量。
21、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。
22、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。
23、在贝努里试验中，若试验次数v是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要条件，是v服从普阿松分布。 24、设{?k}是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和???1??2???v，其中v是随机变量，它与{?k}相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明
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E??Ev?E?k,D??Ev?D?k?Dv?(E?k)。
25、若分布函数F(x)?1?F(?x?0)成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的特征函数是实的偶函数。 26、试求[0,1]均匀分布的特征函数。
227、一般柯西分布的密度函数为p(x)?柯西分布的再生性。
1???(x??)??22,??0。证它的特征函数为exp{i?t??|t|}，利用这个结果证明
28、若随机变量?服从柯西分布，??0,??1，而???，试证关于特征函数成立着f???(t)?f?(t)?f?(t)，但是?与?并不独立。
29、试求指数分布与??分布的特征函数，并证明对于具有相同?值的??分布，关于参数r有再生性。 30、求证：对于任何实值特征函数f(t)，以下两个不等式成立：
1?f(2t)?4(1?f(t)),1?f(2t)?2(f(t))。
31、求证：如果f(t)是相应于分布函数F(x)的特征函数，则对于任何x值恒成立：
2T??lim12T?T?Tf(x)e?itxdt?F(x?0)?F(x?0)。
k?1?d,32、随机变量的特征函数为f(t)，且它的n阶矩存在，令Xk?k?klogf(t)?i?dt?t?0k?n，称Xk为随机变量的k阶半不变
量，试证????b（b是常数）的k(k?1)阶半不变量等于Xk。 33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。
??1?234、设?1,?2,?,?n相互独立，具有相同分布N(a,?)试求???????n的分布密度。
35、若?服从二元正态分布N(0,?)，其中???密度函数。
36、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。 37、若(?,?)的分布为p(??k1,??k2)??1?的分布，并写出它的数学期望及协方差阵，再求???n??n??i?1i?4?22??，试找出矩阵A，使??A?，且要求?服从非退化的正态分布，并求?的1?n!ki!k2!(n?k1?k2)!p11p22(1?p1?p2)kkn?k1?k2 0?pi?1 0?ki?n
，（1）求随机变量?的边际分布；（2）求E(?|?)。 k1?k2?n i?1,238、若r,v,?的取值是非负数，且p(??n)?ABn!n,又E??8，求A??,B??
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39、设?~N(2,1),?~N(1,4)且二者独立，求U???2? ,V?2???的相关系数?uv
40、某汽车站在时间t内发车的概率为P(t)=1-e?8t，求某人等候发车的平均匀时间。
41、某厂生产的园盘的直径服从(a,b)内的均匀分布，求园盘面积的数学期望。 42、搜索沉船， 在时间t内发现沉船的概率为P(t)?1?e??t(??0)， 求为了发现沉船所需要的平均搜索时间。
43、从数字1,2,3,4中按有放回方式取数，设随机变量?表示第一次选取的数字，随机变量?表示第二次选取的不小于?的数字. (1)写出(?,?)的联合分布列; (2)求E?.
44、如果?,?,?互不相关,且方差分别为1,3,6,求u????,v????的相关系数?uv.
45、将三个球随机地放入三个盒子中去，设随机变量?,?分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的个数。1)求二维随机变量(?,?)的联合分布列; 2)求E?
46、设RV?,? 相互独立，且E??2, D??1, E??1, D??4，求U??-2 , V?2?-? 的相关系数puv。
47、民航机场一送客汽车载有20个旅客从机场开出，旅客可从10个站下车，如果到站没人下车就不停车，假定乘客在每个车站下车是等可能的，求平均停车次数。
48、据统计，一个40岁的健康者在5年内死亡的概率为1-p，保险公司开办五年人寿保险，条件是参加者需要交保险费a元，若五年内死亡，公司赔偿b元(b?a)，问b应如何确定才能使公司可望受益？若有m个人参加保险，公司可望收益多少?
49、对敌人防御地段进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69，求100次轰炸中有180～220颗命中目标的概率。
50、若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把打开门上的锁。用它们去试开门上的锁，设取得每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开后除去，求试开次数X的期望。
51、对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间[a,b]上。求球的体积的期望。 52、设X服从几何分布，它的概率分布列为：P{X?i}?qi?1p,n?1,2,?，其中q?1?p，求E(X)，D(X)。
53、设离散随机变量X的分布列为P{X?i}?1???,i?1,2,?，求Y?sin?X?的期望。 2?2?54、有3只球，4只盒子，盒子的编号为1,2,3,4。将球随机地放入4只盒子中去。记X为其中至少有1只球的盒子的最小号码。求E(X)。 55、随机地掷6个骰子，利用切比雪夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率。
56、已知正常成人血液中，每亳升白细胞数平均是7300，标准差是700。利用切比雪夫不等式估计每亳升男性成人血液中含白细胞数在5200至9400之间的概率p。
57、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且服从同一分布、其期望是2mm，标准差是0.05mm。规定总长度为(20?0.1)mm时产品合格，求产品合格的概率。
58、根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只
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