9、设随机变量?取值于[0，1]，若P{x???y}只与长度y?x有关（对一切0?x?y?1），试证?服从[0，1]均匀分布。 10、若存在?上的实值函数Q(?)及D(?)以及T(x)及S(x)，使
f?(x)?exp{Q(?)T(x)?D(?)?S(x)}，
则称{f?,???}是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布N(m0,?2（2）正态分布N(m0,?)，已知m0，关于参数?；
20)，
已知?0，关于参数m；（3）普阿松分布p(k,?)关于?都是一个单参数的指数族。 但[0,?]上的均匀分布，关于?不是一个单参数的指数族。
211、试证f(x,y)?ke?(ax?2bxy?cy)22为密度函数的充要条件为a?0,c?0,b2?ac?0, k?ac?b?。
12、若f1(x),f2(y)为分布密度，求为使f(x,y)?f1(x)f2(y)?h(x,y)成为密度函数，h(x,y)必须而且只需满足什么条件。
?Ae?(2x?y),13、若(?,?)的密度函数为 f(x,y)???0,x?0,y?0其它，
试求：（1）常数A；（2）P{??2,??1}；（3）?的边际分布；（4）P{????2}； （5）f(x|y)；（6）P{??2|??1}。 14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。 15、设二维随机变量(?,?)的联合密度为
p(x,y)?1?(k1)?(k2)xk1?1(y?x)k2?1e?y
k1?0,k2?0,0?x?y??，试求与?的?边际分布。
16、若f1(x),f2(x),f3(x)是对应于分布函数F1(x),F2(x),F3(x)的密度函数，证明对于一切?(?1???1)，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数f1(x),f2(x),f3(x)：
f1(x),f2(x),f3(x)?f1(x1),f2(x2),f3(x3){1??[2F1(x1)?1]?[2F2(x2)?1]?[2F3(x3)?1]}。
17、设?与?是相互独立的随机变量，均服从几何分布g(k,p)?q联合分布；（2）?的分布；（3）?关于?的条件分布。
k?1p,k?1,2,?。令??max(?,?)，试求（1）(?,?)的
?4xy,18、（1）若(?,?)的联合密度函数为f(x,y)???0,?8xy,f(x,y)?（2）若(?,?)的联合密度函数为??0,
0?x?y,0?y?1其它，问?与?是否相互独立？
0?x?y,0?y?1其它，问?与?是否相互独立？
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??1?(1?sinxsinysinz),19、设(?,?,?)的联合密度函数为 p(x,y,z)??8?3???0,试证：?,?,?两两独立，但不相互独立。
0?x?2?当0?y?2?时0?z?2?其它
?1?xy?,20、设(?,?)具有联合密度函数p(x,y)??4??0,|x|?1,|y|?1其它，试证?与?不独立，但?2与?是相互独立的。
221、若?1与?2是独立随变量，均服从普要松分布，参数为?1?2及，试直接证明 （1）?1??2具有普承松分布，参数为?1??2；
（2）P{?1?k|?1??2?n???1?n}??????k???1??212????k??2?????2?1????n?k。
22、若?,?相互独立，且皆以概率
取值+1及?1，令????，试证?,?,?两两独立但不相互独立。
223、若?服从普阿松分布，参数为?，试求（1）??a??b；（2）???的分布。 24、设?的密度函数为p(x)，求下列随机变量的分布函数：（1）????1，这里P{??0}?0；（2）??tg?；（3）??|?|。
25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于(a?b)内，试求圆面积的分布密度。
26、若?,?为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求?????的分布密度函数。
27、设?,?相互独立，分别服从N(0,1)，试求??
??的密度函数。
28、若?,?是独立随机变量，均服从N(0,1)，试求U????,V????的联合密度函数。
29、若?1,?2,?,?n相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为?1,?2,?,?n，试求??min(?1,?2,?,?n)的分布。 30、在(0,a)线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。
31、若气体分子的速度是随机向量V?(x,y,z)，各分量相互独立，且均服从N?(0,?马克斯威尔分布。
32、设?,?是两个独立随机变量，?服从N(0,1)，?服从自由度为n的x?分布(3.14),令t?22)，试证S?x?y?z222斑点服从
?/?/n，试证t的密度函数为
?1?1??(n?1)??(n?1)2x?2?2???1??Pn(x)? ?n??1???n???n??2?
这分布称为具有自由度n的t?分布在数理统计中十分重要。
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?6(1?x?y?z)?4,33、设?,?,?有联合密度函数f(x,y,z)???0,34、若?,?独立，且均服从N(0,1)，试证U??22??与V?
当x?0,y?0,z?0时其它，试求U??????的密度函数。
??是独立的。
35、求证，如果?与?独立，且分别服从??分布G(?,r1)和G(?,r2)，则???与
??也独立。
?e?x,36、设独立随机变量?,?均服从p(x)???0,x?0其它 ，问???与
??????是否独立？
37、若（?,?）服从二元正态分布（2.22），试找出???与???相互独立的充要条件。
38、对二元正态密度函数p(x,y)??1?22exp??2x?y?2xy?22x?14y?65?， 2??2?1??（1）把它化为标准形式（2.22）；（2）指出a,b,?1,?2r；（3）求pi(x)；（4）求p(x|y)。
39、设a?0,B?1?7???3?2?3412??1?，试写出分布密度（2.12），并求出(?1,?2)的边际密度函数。 2??40、设?,?是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于0，且有二阶导数，试证若???与???相互独立，则随机变量
?,?,???,???均服从正态分布。
41、若f是?上单值实函数，对B?R，记f1?1(B)?{???:f(?)?B}。试证逆映射f?1 具有如下性质：
（1）f?1????B?????????B????????????????1????f?1(B?);
（2）f?1????f?1(B?);
（3）f?1(B)?f(B).
0?x?1其它?cx242、设随机变量?的密度函数是f(x)???0（1）求常数C；（2）求?使得p(??a)=p(??a).
43、一个袋中有k张卡写有k,k?1,2,?,n，现从袋中任取一张求所得号码数的期望。
?(y?x)2?2244、设r,v, ?~N(m,?) ，?在??x的条件密度分布是P(y|x)?212??，求??y的条件下?的密度p(x|y)?
45、设?与?独立同服从(0,a)上的均匀分布，求X???的分布函数与密度函数。
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?Ae?2(x?y)46、设(?,?)的联合分布密度为f(x,y)??0?47、在(0,4)中任取两数，求其积不超过4的概率。
x?0,y?0其它，（1）.求常数A；（2）求给定时的条件密度函数。
48、若(?,?) 的分布列是（见下表）(1)求出常数A; (2)求出 ?=2 时?的条件分布列。
? Ч 1 2 3
49、设(?,?) 独立的服从N (0,1)分布，令U????, V??-? ，求(U,V)的联合密度函数及边际密度函数。
-1 1/6 1/12 1/24 0 1/8 1/4 1/24 1 1/8 A 1/24 ?4X50、设随机变量?的密度函数为 P(X)???00.05。
3
0?X?1其它，(1).求常数a，使P{?>a} = P{?b} =
51、地下铁道列车运行的间隔时间为2分钟，旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望及均方差。 52、设二维随机变量(?,?)的联合密度函数为：p(x,y)???6xy(2?x?y),?00?x?1,0?y?1其它， (1)求?=2?+3的密度函数；
(2)求p?|?(y|x); (3)p{??12|??12}
?2e?(2x?y),P(x,y)??53、若二维随机变量(?,?)的密度函数为：
0,?（3） P{??1|??2}
54、若r,v?~N(a,?) ，求??2x?0,y?0其它，1)求?????的密度函数；2)求P(????2)；
??a? 的密度函数。
表示
55、将两封信随机地往编号为1,2,3,4的四个邮筒内投，以?k的条件下，?1的条件分布。
56、若r,v?~N(0,1)，求???的密度函数。
2k个邮筒内信的数目，求： (1) (?1,?2)的联合分布列； 2)?2?157、某射手在射击中,每次击中目标的概率为P(0?P?1)，射击进行到第二次击中目标为止，用?k表示第K次击中目标时射击的次数(K?1,2)，求?1和?2的联合分布和条件分布。
58、进行独立重复试验，设每次试验成功的概率为p。将试验进行到出现r次成功为止，以X表示所需试验的次数。求X的分布列。
x??1e1000,?59、已知某种类型的电子管的寿命X（以小时计）服从指数分布，其概率密度为f(x)??1000?0,?x?0其它，
9
一台仪器中装有5只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作。求仪器正常工作1000小时以上的概率。
?Ax2e?kx,60、设连续随机变量X的概率密度为f(x)???0,
求：（1）X的分布函数F(x)；
x?0其它，其中k为已知常数。求：（1）常数A；（2）P?0?X???1? ?。k?61、设离散随机变量X的分布列为：
X p 0 1 2 131612 （2）P?X???3??，P?1?X?4?，P?1?X?4? 2?
62、从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品数X的分布列及分布函数。
63、（1）设连续随机变量X的概率概率为fX(x)，求Y?X的概率密度。
3 （2）设
X服从指数分布E(?)。求Y?X的概率密度。]
364、对圆片直径进行测量，测量值X服从均匀分布U(5,6)。求圆面积Y的概率密度。
65、设电压V?Asin?，其中A是一个正常数，相角?是一个随机变量，服从均匀分布U????，求电压V的概率密度。
??2,2???66、箱子里装有12件产品，其中2件是次品。每次从箱子里任取一件产品，共取2次。定义随机变量X,Y如下
?0,X???1,若第1次取出正品若第1次取出次品，Y???0,?1,若第2次取出正品若第2次取出次品。分别就下面两种情况求出二维随机向量(X,Y)的联合分布
列和关于X,Y的边缘分布列：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。
67、一个大袋子中，装有3个桔子，2个苹果，3个梨。今从袋中随机抽出4个水果。若X为为桔子数，Y为苹果数，求(X,Y)的联合分布列。
Y表示在3次中出现正面的次数与出现反面的次数的绝对值，68、把一枚硬币连掷3次，以X表示在3次中出现正面的次数，求(X,Y)的联合分布列。
69、设二维随机向量的概率密度为：f(x,y)???k(6?x?y),?0,0?x?2,2?y?4其它。求（1）k；（2）P{X?1,Y?3}；（3）
（4）P{X?Y?4}。 P{X?1.5}；
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