探究三 理论实践，探究直线参数方程的简单应用★▲ 活动① 巩固基础，检查反馈
2
?x＝2＋?2t，
例1 在平面直角坐标系中，曲线C：?
2
??y＝1＋2t
(t为参数)的普通方程为________．
【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】
22
【解题过程】由x＝2＋t，且y＝1＋t，消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.
22
【思路点拨】通过参数方程与普通方程互化求解． 【答案】x－y－1＝0．
同类训练 求直线2x－y＋1＝0的参数方程的标准形式，
【知识点】直线普通方程化为参数方程． 【数学思想】
【解题过程】根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α＝2，sin α5
?x＝1＋?5t，255
＝5，cos α＝5，所以直线的参数方程是?
25
?y＝3＋?5t
(t为参数)．．
【思路点拨】通过直线确定斜率和定点，从而得到直线倾斜角α的sin?,cos?的值． 5
?x＝1＋?5t，
【答案】?
25
?y＝3＋t?5
(t为参数)．
【设计意图】巩固检查直线参数方程与普通方程互化，熟悉直线的参数方程． 3
?x＝－3＋?2t，
例2 已知直线l：?
1y＝2＋??2t，(1)求直线l的倾斜角；
(t为参数)．
(2)若点M(－33，0)在直线l上，求t，并说明t的几何意义．
【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】
【解题过程】(1)由于直线l： π
x＝－3＋tcos??6，?πy＝2＋tsin??6
π
(t为参数)表示过点M0(－3，2)且斜率为tan 6的直线，
π
故直线l的倾斜角α＝6. π??31??π
cos，sin?. (2)由(1)知，直线l的单位方向向量e＝?6＝?6????2，2?∵M0(－3，2)，M(－33，0)，
→?31?
∴M0M＝(－23，－2)＝－4?，?＝－4e，
?22?∴点M对应的参数t＝－4，
→→
几何意义为|M0M|＝4，且M0M与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．
【思路点拨】 将直线l的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t. 方)
1?x??3?t??2(t为参数) 同类训练 已知直线l的参数方程??y?1?3t?2?π→→
【答案】（1）α＝6；（2）|M0M|＝4，且M0M与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
（1）求直线l的普通方程，并求倾斜角； （2）若点M(?
3,33)在直线l上，求t，并说明t的几何意义． 3【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】
1?x??3?t??2消去参数t，得 【解题过程】 （1）由??y?1?3t?2?直线l的普通方程为3x－y＋33＋1＝0.
ππ
故k＝3＝tan α，即α＝3，因此直线l的倾斜角为3. （2）令1?32323，所以M对应的参数t?6?t?33，解得t?6??0
233→→23几何意义为|M0M|＝6?，且M0M与e方向相同(即点M在直线l上点M0的右上方)．
3【思路点拨】将直线l的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t.
π→→23【答案】（1）倾斜角为3；（2）几何意义为|M0M|＝6?，且M0M与e方向相同(即点M
3在直线l上点M0的右上方)．
●活动② 强化提升、灵活应用
例3 已知直线l：x?y?1?0与抛物线y?x2交于A,B两点，求线段AB的长和点M(?1,2)【设计意图】巩固检查直线参数方程与普通方程互化、参数的几何意义的理解．
到两点A,B的距离之积．
【知识点】直线参数方程的应用． 【数学思想】
【解题过程】因为直线l定点M，且l的倾斜角为
3?，所以参数方程为 4?x??1?????y?2???代入抛物线的方程，得
2t2(t为参数) 2t2t2?2t?2?0
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，由根与系数的关系得
?t1?t2??2． ??t1?t2??1所以，由t的几何意义得 AB?t1?t2?(t1?t2)2?4t1t2?10 MA?MB?t1?t2?t1t2?2
2
同类训练 直线l1过点P(4,3)且倾斜角的正切值为3， (1)求l1的参数方程；
(2)若l1和直线l2：x＋y－2＝0交于点Q，求|PQ|.
【知识点】直线参数方程的应用． 【数学思想】
2
【解题过程】(1)l1的倾斜角为α，满足tanα＝3. ∴sinα＝
23，cosα＝. 1313
【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义． 【答案】（1）AB?10；（2）MA?MB?2．
3
??x＝4＋13 t，
∴l1的参数方程为?2
y＝3＋ t??13(2)将上式代入x＋y－2＝0，得 4＋
32
t＋3＋ t－2＝0， 1313
(t为参数)．
∴t＝－13. ∴|PQ|＝|t|＝13.
【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义．
??x＝4＋
【答案】（1）?
??y＝3＋
2. 课堂总结
知识梳理
3
t，132 t13
(t为参数)；（2）|PQ|=13.
【设计意图】巩固检查直线的参数方程中参数几何意义的应用．
?x?x0?tcos?(t为参数)，这（1）过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?y?y?tsin?0?种形式称为直线参数方程的标准形式．
（2）参数t的几何意义是：直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t绝对值，即|M0M|＝|t|.
若t?0，则M0M的方向向上； 若t?0，则M0M的方向向下； 若t?0，则M与M0重合．
重难点归纳
（1）在直线的参数方程中，?,x0,y0都是常数，其中?为直线的倾斜角，x0,y0是直线上
一定点M0的坐标(x0,y0)，t为参数．
（2）利用直线参数方程中参数的几何意义解决问题时，必须先将直线化为标准的参数方
程形式．
（三）课后作业 基础型 自主突破
?x??3?tcos??(t为参数，??)不经过( ) 1．直线?6?y?2?tsin?A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】