????????2????2????????????212．?3,7?；提示：因为TM?TN?TM?2TM?TN?TN?25，
由
??????????????????????TM?TN?TP?TM?TN?TP???，得3?TP?7．
13．??5?22?；提示：画图可知，函数f(y)?y?(2x?5)y?x和函数g(y)?lnx?lny连续在y?2?轴右边有相同的零点，令g(y)?0，得y?x，代入f(y)?0中，得x?0，或x?5，注意到x?0，2所以实数x的取值集合为?
?5??． ?2?2x4z2xz124x12482x?4y24；14．提示： ???z2(?)??z(?)?22xyt(z?t)xyxyz?t?(z?t)???2???z2(x4yx48x484816?2?)?2?z2(?4)?2?3z2?2?6z2?2?24xxyzxzzz；当且仅当
x??4，y?2，t?1，z?2时等号成立．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
????解：（1）由a?b，得a?b?0，即4cos?sin??1?0，
1?，因为??(0,)，所以2??(0,?)， 22??5?5?所以2??或2??，解得??或??．（6分）
612126?????2?2??（2）a?b?(2sin??2cos?,2)，由a?b?2b，得(a?b)?4b，
即sin2??即4(sin?因为??cos?)2?4?16cos2??4，整理得sin2??2sin?cos??3cos2??0，
?(0,)，所以cos??0，等式两边同时除以cos2?得，
2?tan2??2tan??3?0，即(tan??3)(tan??1)?0，
数学试卷第6页共11页
解得tan?
?3或tan???1，因为??(0,)，所以tan??3．（14分）
2?16．（本小题满分14分） （1）证明：因为
ABCD为矩形，所以CD?AD，侧面PAD?底面ABCD， ABCD?AD，CD?平面ABCD，所以CD?平面PAD，
，PC?CD侧面PAD?底面
AP?平面PAD，A?PC所以PA?CD，又P所以
（2）由（1）知，AP又l
17．（本小题满分14分）
?C，CD、PC?平面PCD，
AP?平面PCD，又AP?平面PAB，所以平面PAB?平面PCD．（7分）
?平面PCD，又l?平面PCD，所以l//PA，
?平面PAD，AP?平面PAD，所以l//平面PAD．（14分）
100a2
100+a+t+， 1≤t＜40，t∈N*，2??ta
解：（1）由题意，S(t)=p(t) q(t)=(140－|t－40|)(1+)=? 180a2t2*
??180－a－t+t，40≤t≤60，t∈N；180a2180a2
（2）当40≤t≤60且t∈N*时，S(t)=180－a2－t+，当t增加时减少，
tt
所以S(t)在40≤t≤60时单调递减；当t=60时，S(t)有最小值2a2+120． 100a2
当1≤t＜40且t∈N时，S(t)=100+a+t+≥100+a2+20a；
t
*
2
2
①若a=1或2或3时；当t=10a时，上述不等式中的等号成立， S(t)在1≤t＜40范围中有最小值a2+2a +100． 又在40≤t≤60时S(t)有最小值2a2+120．
当a=1时，100+a2+20a=121＜122=2a2+120，故S(t)有最小值121； 当a=2或a=3时，100+a2+20a＞2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120． 100a2100a2100a2
②若a≥4且1≤t＜40时，因为1+－=1－≤0，
t+1tt(t+1)100a2100a22
所以S(t+1)=100+a+t+1+≤S(t)=100+a+t+，
t+1t
2
故S(t)在1≤t≤40中单调递减；又S(t)在40≤t≤60时单调递减， 所以S(t)在1≤t≤60时单调递减．
所以，当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．
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综上，若a=1，当t=10时，S(t)有最小值121；即第10天的销售额最少，为121千元．
若a≥4且a∈N*，当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．
18．（本小题满分16分） 解：（1）因为椭圆C过点(2,41643)，所以2?2?1，
a3b3a2?6，a2?b2?c2， 又已知右准线方程为x?6，所以c可解得a2?12，b2?8；或a2?28，b2?56； 9x2y2x29y2??1或??1．所以椭圆C的方程为（6分） 1282856（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则
A(?a,0)，B(a,0)，F(c,0)；
x12b222因为点M在椭圆C上，所以y?b(1?2)??2(x1?a)，
aa212所以kMA?kMBy1y1y12b2?????2， x1?ax1?ax12?a2ax2y2设直线MN：x?my?c，与椭圆C：2?2?1(a?b?0)联立方程组消去x得
ab(a2?m2b2)y2?2cmb2y?b4?0，
kBM?kBN?y1yy1y2?2??x1?ax2?amy1?c?amy2?c?a，
?y1y2m2y1y2?m(c?a)(y1?y2)?(c?a)2b4将y1y2??2a?m2b22cmb2，y1?y2??2a?m2b2代入上式化简得
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kBM?kBN得a2b42b2b4，又2kMA?kBN；所以?2??2??2a(a?c)2aa(a?c)21或e?1， 3，
?4ac?3c2?0，即3e2?4e?1?0，解得e??又0?e?1，所以e
11，即椭圆C的离心率为．（16分） 3319．（本小题满分16分） 解：（1）当k11?1时，有an?an?1?2n，得an?1??2n?1??(an??2n)，
33令cn121c?an??2n，c1?a1???0，所以n?1??1，
333cn所以数列即an?cn?是首项为3，公比为?1的等比数列；所以cn?3(?1)n?1，
?4时，有an?4?an?8（n?N?），
11111?nn?1?n?N??2n?(?1)n?1，所以an???2?(?1)（）．（4分） ??333（2）①当kn?4m（m?N?）时，a4(m?1)?a4m?8，所以?a?m?为等差数列；
； a4m?10?8(m?1)?8m?2（m?N?）
n?4m?1（m?N?）时，a4(m?1)?1?a4m?1?8，所以?a?m???为等差数列；
； a4m?1?8?8(m?1)?8m（m?N?）
n?4m?2（m?N?）时，a4(m?1)?2?a4m?2?8，所以?a?m???为等差数列；
； a4m?2?6?8(m?1)?8m?2（m?N?）
n?4m?3（m?N?）时，a4(m?1)?3?a4m?3?8，所以?a?m???为等差数列；
； a4m?3?4?8(m?1)?8m?4（m?N?）所以an，an?1?an?2，所以数列?an?为等差数列．（10分） ?2n?2（n?N?）
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②由①知，an由(Sn； ?2n?2，则Sn?n2?3n（n?N?）
3?1)2?an?33?k2，得(n2?3n?1)2?3(n?10)?k2；
2当n?10时，k?131；
当n222222?10时，则k?n?3n?1，因为k?(n?3n)?2n?3n?31?0，所以k?n?3n； 2从而n?3n?k?n2?3n?1，因为k和n为正整数，所以不存在正整数k；
?n2?3n?1，因为k为正整数，所以k?n2?3n?2，
当n?10时，则k从而(n2?3n?1)2?3(n?10)?(n2?3n?2)2，即2n2?9n?27?0，
?1或n?2；
因为n为正整数，所以n当n?1时，k2?52，k不是正整数；当n?2时，k2?145，k不是正整数；
?10，k?131．（16分）
综上，满足题意的所有正整数k和n分别为n
20．（本小题满分16分） 解：（?）所以
f'(x)?a(lnx?1)，f'(1)?1，得a?1；又由f(1)?0，得b?0，
f(x)?xlnx．（3分）
（2）对任意x?[1,??)，不等式xlnx??(x?1)恒成立；
等价于对任意x?[1,??)，不等式ln令h(x)1x??(1?)恒成立；
x1?lnx??(1?)(x?1)，则有h(x)?0在x?[1,??)上恒成立；
x1?x??h'(x)??2?2；
xxx?1，当x?1时，h'(x)?0，所以h(x)在[1,??)上单调递增，
?1时，h(x)?h(1)?0；
若?所以，当x若??1，当1?x??时，h'(x)?0，当x??时，h'(x)?0，
所以h(x)在[1,?)上单调递减，在(?,??)上单调递增，
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所以当1?x??时，h(x)?h(1)?0，与题意矛盾；
综上，实数?的取值范围为(??,1]．（9分） （3）令
p(x)?f(x?1)?(x?3)?(x?1)ln(x?1)?x?3，
p'(x)?ln(x?1)；令p'(x)?0，解得x?2；
令
p'(x)?0，解得1?x?2；∴p(x)在(1,2)上单调递减；在(2,??)上单调递增；
?2时，p(x)取得最小值p(2)?1?0；
故当xq(x)?f(ex)?3(ex?3)?xex?3ex?9，
q'(x)?(x?2)?ex，令q'(x)?0，解得1?x?2；令q'(x)?0，解得x?2；
所以q(x)在(1,2)上单调递减；在(2,??)上单调递增； 故当x?2时，f(x)取得最小值q(2)?9?e2?0；
?1时，p(x)q(x)?pmin(x)qmin(x)?p(2)q(2)?9?e2，
所以，当x即
xx2?f(e)?3(e?3)?9?e， ?f(x?1)?(x?3)????当且仅当x
?2时，等号成立．（16分）
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