同济大学《高等数学》授课教案
同济大学《高等数学》
授课教案
2015年3月2日（修改稿）
总学时64学时（XRG）
同济大学《高等数学》授课教案
第一讲 高等数学学习介绍、函数
教学目的：了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函
数的分解。
重 难 点：数学新认识，基本初等函数，复合函数 教学程序：数学的新认识—>函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—>复合函数—>初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）
授课提要：
前 言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言
1、为什么要重视数学学习
（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；
（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；
（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识
（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；
（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”]
二、函数概念
1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）
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(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值 域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。 例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？
2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
例如：熟悉基本初等函数的图像。
3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。
?x2,x?0例2、作函数f(x)??的图像？
?2x,x?0?x2，x?0例3、求函数f(x)??的定义域及函数值f(?1),f(0),f(1)?
?1，x?0三、基本初等函数
熟记：五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。
四、复合函数：设y=f(u),u=g(x)，且与x对应的u使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x的复合函数，u称为中间变量。 说 明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：y?lnu,u??x2就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。
(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设f(x)?x2,g(x)?2x,求f(g(x)),g(f(x))?
例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1)y?ln(sinx2) (2) y?e?2x (3) y?1?arctan2x
五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一个表达式所表示。
说 明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但y?x是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 思考题：
1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则]
2、 思考函数的几种特性的几何意义？ [奇偶性、单调性、周期性、有界性] 3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？[不能]
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探究题：
一位旅客住在旅馆里，图1—5描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一
个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图1—5标上具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个函数解析式表达出来吗？
小 结：函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事物联系的多样性。
作 业：P4（A：2-3）；P7（A：2-3）
图1—5 时间 课堂练习（初等函数）
【A组】
1、求下列函数的定义域？
x?ln(4?x2) (1)y?x2?1 (2) y?ex (3) y?log(x-1) (4) y?2x?12、判定下列函数的奇偶性？
(1) y?f(x)?f(?x) (2) y?ex?e?x (3) y?x2n?1(n为自然数） 3、作下列函数的图像？
x2?1(1) y? (2) y?e?x (3) y?sinx
x?14、分解下列复合函数？
1(1) y?x2?1 (2) y?esinx (3)y? (4)y?ln2(cosx) 1?sin3x【B组】
1、证明函数y?ln(x?x2?1)为奇函数。
2、将函数y?x?1?2x?1改写为分段函数，并作出函数的图像？
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113、设f(x?)?2?x2,求f(x)？
xx14、设f(x)=，求f[f(x)]，f?f[f(x)]?？
1?x数学认识实验： 初等函数图像认识 1、幂函数：（如y?x,y?x2,y?x3） 2、指数与对数函数：（如y?ex,y?lnx）
YY231.5210.51-2-1-0.51-2-1123-1
3、三角函数与反三角函数：（y?cosx,y?arccosx）
14、多项式函数：（y?x3?x2?3x?3）
3Y3 -1 y132xx3x33202101-4-2-1024-3-2-1123
5、分段函数：（y?x,y?sgnx）
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