同济大学《高等数学》授课教案
110.80.50.60.4-2-110.2-0.5
-1-0.50.5 -1
总学时64学时（XRG）
同济大学《高等数学》授课教案
第二讲 导数的概念（一）、极限与导数
教学目的：复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。
重 难 点：求极限，导数定义及由定义求导法 教学程序：极限的定义及求法（例）—>导数的引入（速度问题）—>导数的概念 —>导数与极限—>基本初等函数的导数（定义法）—>例子（简单）
授课提要：
前 言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数)，本节将复习函数的变化趋势(极限)，在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）。导数是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用。 一、理论基础——极 限（复习）
1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义） 2、极限的四则运算法则（略）
3、求函数的极限（几类函数的极限）
（1）若f(x)为多项式，则limf(x)?f(x0)
x?x0例1：求下列极限
(x2?2x?1) (2) lim(x2?2x?1) (3) lim(x2?2x?1) (1)limx?1x?0x?2 f(x)f(x)f(x0)（2）若g(x)为有理分式且g(x0)?0,则lim（代入法） ?x?x0g(x)g(x0)例2：求下列极限
x?1x2?2x?2x2?1limlim(1) limx?12x?1 (2) x?0x2?3 (3) x?1x?1
f(x)（3）若分式g(x),当x?x0时，f(x0)?g(x0)?0，则用约去零因子法求极限 例3：求下列极限
x2?1x2?2x?3x?8?3limlim(1) limx?1x?1 (2) x?1x?1 x?1 (3) x?1f(x)（4）若分式g(x),当x??时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法求极限。
例4：求下列极限
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x?1x2?1x2?2x?1limlimlim(1) x??2x2?1 (2) x??5x2?1 (3) x??2x2?1
3、两个重要极限
1sinx1x?1 （2）lim(1?)?e或lim(1?x)x?e （1）limx?0x??x?0xx说明：其中x可以是u(x)的形式，且当x?0时，u(x)?0。
例5：求下列极限
1sin3xsin3x3xxlimlimlim(1?)lim(1?3x)(1)x?0x (2) x?0sin5x (3) x?0 (4) x??x
二、导数定义（复习增量的概念）
1引例1、速度问题（自由落体运动s?gt2）
2引例2、切线问题（曲线y?x2）
以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y关于自变量x在某一点x0处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极
限，这种特殊的极限就是函数的导数。 解决问题的思路： 1、 自变量x作微小变化?x，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率?yy?，作为点x0处变化率的近似值；
?x2、 对y求?x?0的极限lim?y，若它存在，这个极限即为点x0处变化率的
?x?0?x精确值。 定 义：设函数y?f(x)在x0点及附近有定义，当x在x0点取得增量?x时，相
?y应函数取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)，若当?x?0时，比值的极限存在，
?xdyx?x0，即 则称此极限值为f(x)在x0处的导数或微商。记f?(x0)或dxf(x0??x)?f(x0)?yf?(x0)?lim?lim
?x?0?x?0?x?x?y说明：(1)比值是函数f(x)在[x0,x0??x]上的平均变化率；而f?(x0)是
?xf(x)在x0处的变化率，它反映函数在点x0随自变量变化的快慢程度；
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?y?x?0?x不存在（包括?），则称f(x)在x0点不可导；
(3)若f(x)在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b）内可导，记f?(x)，称 为导函数，简称导数。
(4)f?(x)是x的函数，而f?(x0)是一个数值，f(x)在点x0处的导数f?(x0)就是导函
(2)若lim数f?(x)在点x0处的函数值。
三、导数与极限的关系
导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数-?有极限，反之不成立。
四、基本初等函数的导数（定义）
由定义知求函数导数的步骤：（三步骤） （1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。 例6、由定义求函数y?C的导数？
例7、由定义求函数y?sinx的导数？（推导） 思考题：
sinx1、 lim是否存在，为什么？[0]
x???x2、若曲线y= x3在(x0,y0)处切线斜率等于 3 ，求点(x0,y0)的坐标。
πsin(?x)?123、 已知(sinx)'?cosx，利用导数定义求极限lim。[0]
x?0x 探究题：从求变速直线运动物体的瞬间速度问题解决方法中，你对“极限法”有什么体会？ [近似转化为精确的数学方法] 小 结：导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），凭着切线的斜率，可以研究函数的整体性质（导数应用中的单调性、极值等）。 作 业：P22（A：1-3；B：3-4）
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课堂练习（导数的概念一）
【A组】
1、求下列极限
x?1x2?1(x?1)3(2x?1)2 (1) lim (2) lim2 (3) lim2 2x?1x??x?0 x?12x?x?3(2x?3)arcsinxarccosx（4）lim （5）lim(1?2x)x （6）lim
x?0x??x?02x2xabx?d(x?1)3(2x?1)2ablim(1?)e2、求极限lim？ 3、求极限：？[] 5x??x??x(2x?3)1x2?ax?2?x)?1，求a的值？ [2] 4、已知lim(x??x?15、用导数定义，求函数f(x)?x2?1在x=1处的导数？
6、设物体的运动方程为s?t2?3，求(1)物体在t=2秒和t=3秒间的平均速度？ (2)求物体在t=2秒时的瞬时速度？
【B组】
f(x?t)?f(x)xxf(x)?e,求极限lim?1、设？ [] f(x)?et?0tx2、设函数f(x)?lim(1?)t(x?0)，求f(ln2)？ [2]
t??t3、证明导数公式：(x?)???x??1
1(9t?3t2?t3),0?t?4.5，求t=2,3,4时4、一药品进入人体t小时的效力E?27的效力E的变化率？
?23?x,x?1,则f(x)在x?1处 A 。 5、设f(x)??32??x,x?1A、左右导数都存在 B、左导数存在，右导数不存在 C、右导数存在，左导数不存在 D、都不存在
f(x)?f(a)?A（A为常数），试判断下列命题是否正确。[全部] 6. 若limx?ax?a（1）f(x)在点x?a 处可导； （2）f(x)在点x?a 处连续； （3）f(x)?f(a)= A(x?a)?o(x?a)；
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