同济大学《高等数学》授课教案
第四讲 求导公式与求导法则（一）
教学目的：掌握基本导数公式与导数运算法则，会求简单函数的导数。
重 难 点：基本导数公式与法则 教学程序：基本公式—>运算法则—>例子—>二阶导数的定义及求法 授课提要：
一、基本导数公式
由导数的定义，我们可以得到如下基本导数公式：
1(C)??0;(x)??1;(x?)???x??1;(ex)??ex;(lnx)??
x(sinx)??cosx;(cosx)???sinx;(tanx)??sec2x;(cotx)???csc2x 二、导数的四则运算法则 设u、v为可导函数，则
??1、?u?v??u??v? 2、?ku??ku?(k?0)
?u?u?v?uv???(v?0) 3、?uv??u?v?uv? 4、???2v?v?例1、求下列函数的导数
2?x22(1) y?3x?x?1 (2) y? (3) y?lnx?ex (4) y?excosx
x例2、求函数在给定点的导数值？
(1) y?tanx,x?? (2) y?2ex?3x?2,x?1 例3、设y?x2lnx,求证：xy??2y?x2
例4、已知曲线y?xlnx的切线与直线2x?2y?3?0垂直，求此切线方程？
三、二阶导数
1、定义：若导函数f?(x)再求导数，称为f(x)的二阶导数。记：f??(x) 2、求法：由定义知，求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致。 例5、求下列二阶导数
1?x22(1) y?3x?x?1 (2) y? (3) y?lnx?ex (4)y?xex
x3、二阶导数的物理意义
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设物体的运动规律为：s?s(t)，则s??(t)表示物体在时刻t的加速度。 例6、设物体的运动方程为：s?3t3?2t?2，求t=2时的速度和加速度？ 思考题：
1. 思考下列命题是否成立？
(1)若f(x)，g(x)在点x0处都不可导，则f(x)?g(x)点x0处也一定不可导.
答：命题不成立.
?0,x?0,?x,x?0, g(x)=?
?x,x?0,?0,x?0,f(x)，g(x)在x = 0 处均不可导，但其和函数f(x)+g(x)= x 在x= 0 处可导.
如：f(x)=?
(2)若f(x)在点x0处可导,g(x)在点x0处不可导，则f(x)+g(x)在点x0处一定不可导.
答：命题成立.
原因：若f(x)+g(x)在x0处可导，由f(x)在x0处点可导知
g(x)=[f(x)+g(x)]?f(x)在x0点处也可导，矛盾.
探究题：
某产品的需求方程和总成本函数分别为P?0.1x?80，C(x)?5000?20x，其中x为销售量，P为价格。求边际利润，并计算x?150和x?400时的边际利润，解释所得结果的经济意义。[导数的经济意义]
小 结：导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的变化率。s?(t)指路程对时间的变化率，s??(t)指速度对时间的变化率。二阶导数的几何意义：反映曲线的凹向。 作 业：P30（A：1-2）
小知识：数学的三次危机
第一次数学危机：无理数的产生。（单位正方形的对角线长） 第二次数学危机：微积分的产生和完善。（极限和无穷小的定义） 第三次数学危机：集合论的产生。（罗素悖论）
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课堂练习（导数公式与法则一）
【A组】
1、求下列导数
(1) y?3x2?lnx?3 (2) y?232 (3) y?xlnx (4) y?(sinx)2 x2、曲线y?xex在何处有水平切线？ [x=-2/3]
3、已知曲线y?xlnx的切线与直线2x?2y?3?0垂直，求此切线方程？[e] 4、求下列二阶导数
1(1) y?3x2?lnx (2) y? (3) y?xlnx
x
【B组】
f(xn)？ 1、设曲线y?xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(xn,0)，求极限nlim???f(3x)?3，求f?(0)？ [1]
x?0xf(x0?h)?f(x0?2h)3、设f?(x0)?2，求lim？ [-2]
h?0h4、已知f(x)?x2?(x)，?(x)二阶连续可导，求f??(0)？ [2?(0)]
2、若f(0)?0,lim5、设某种汽车刹车后运动规律为S?19.2t?0.4t3，假设汽车作直线运动，求汽车在t?4秒时的速度和加速度。 数学认识实验： 函数与导函数的图像比较（y?x3,y??3x2,y???6x） Y642-2-1-21
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第五讲 求导法则（二）、连续与导数
教学目的：了解函数的连续性的概念，理解连续与导数的关系。
重 难 点：基本导数公式，连续的几何直观、连续与可导的关系 教学程序：复习基本导数公式、法则—>连续概念（极限定义）—>连续的条件 —>初等函数的连续性—>可导与连续（例）—>连续函数的极限（例子）
授课提要：
一、复习基本导数公式和法则 举 例：（略）
二、连续的概念（作图直观理解）
1、定 义：设函数y?f(x)在x0点及附近有定义，当x?x0时,有
f(x)?f(x0)，则称f(x)在x0点连续。
说明：连续是一种特殊的极限。连续?有极限，反之不成立。 例1、试证y?x在x=0处连续？ 三、函数连续的条件
（１）f(x)在x0点及附近有定义 （２）f(x)在x0点的极限存在 （３）极限值等于函数值。
?x2,x?0例2、讨论函数y??在x=0处的连续性？
1,x?0?四、初等函数的连续性
初等函数在定义区间内都是连续的。其图像是一条连绵不断的曲线。
五、可导与连续
1、可导与连续的图象特征
（1）连续函数的图像是一条连绵不断的曲线。（作图示例）
（2）可导函数的图像不仅连绵不断，并且曲线具有平滑性（无尖点、折点） 2、可导与连续的关系
定理：若函数f(x)在x0点可导，则f(x)在点x0连续；反之，结论不成立。 例3、试证函数y?sinx在x=0点连续但不可导。
例4、试证函数y?3x2在x=0点连续但不可导,但切线存在。
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3、极限、连续、可导之间的关系
?x2,x?0 可导?连续?有极限；反之不一定成立。如f(x)??在x=0处。
y ?1,x?0y
y=|x| y=3x
1 ? x 1 -1 x ? -1
六、连续函数的极限
若f(x)在x0点连续，则limf(x)?f(x0)
x?x0例5、求下列极限
xln(1?x)lim（1）limx (2)limcosx （3） lim (4) x?0x?4?2x?0xx??x?1
2
?1?cosx,x?0?例6、讨论f(x)??x2在x=0处的连续性？
2??x?1,x?0 思考题：
1．如果f(x)在x0处连续，问|f(x)|在x0处是否连续？ [连续]
2． 如果f(x)在x0处可导，问|f(x)|在x0处是否可导？ [不一定]
x2?13．求函数f(x)?的间断点，并判断其类型。
(x?1)x探究题：作图说明函数不可导点的类型。[不连续点、尖点、折点] 小 结：连续函数的美学意义：和谐与奇异之美。连续体现的是自然和谐、社会发展的生生不息；间断则表现为不规则和与众不同，体现了自然界的丰富多彩和社会发展中的跳跃性。
作 业：P34（A：1-2）；复习题（2-5）
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