运筹学案例集
运筹学的一些典型性应用
? 合理利用材料问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 ? 配料问题：在原料供应量的限制下，如何获取最大收益 ? 投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使投资回报最大 ? 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 ? 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 ? 运输问题：如何制定最佳调运方案，使总运费最少 一、生产计划问题
案例1（2-4）、某工厂用A、B、C、D四种原料生产甲、乙两种产品，生产甲和乙所需各种原料的数量以及在一个计划期内各种原料的现有数量见下表所示。又已知每单位产品甲、乙的售价分别为400元和600元，问应如何安排生产才能获得最大收益？
产 品 A 甲 乙 现有原料 数量 28 20 32 24 4 4 B 4 2 所 需 原 料 C 8 0 D 2 4 案例2（2-6）、某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
Ⅰ Ⅱ 资源限制 1 1 设备 300台时 2 1 原料A 400千克 0 1 原料B 250千克 问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最 单位产品获利 50元 100元 1
多？
案例3（2-25）、某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量，数据如下表所示。
问题：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
铸造工时(小时/件) 机加工工时(小时/件) 装配工时(小时/件) 自产铸件成本(元/件) 外协铸件成本(元/件) 机加工成本(元/件) 装配成本(元/件) 产品售价(元/件) 甲 5 6 3 3 5 2 3 23 乙 10 4 2 5 6 1 2 18 丙 7 8 2 4 -- 3 2 16 资源限制 8000 12000 10000 案例4（2-28）、永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过
A、B两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备
设备 A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件） 产品单件工时 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 5 10 7 9 12 6 8 4 11 7 0.25 0.35 0.50 1.25 2.00 2.80 设备的 有效台时 6000 10000 4000 7000 4000 满负荷时的设备费用 300 321 250 783 200 上加工，数据如下表所示。
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问题：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？ 案例5、某造纸厂用原材料白坯纸生产原稿纸、笔记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为3万公斤。已知工人的劳动生产率为：每人每月生产原稿纸30捆，或生产日记本30打，或练习本30箱。而原材料的消耗为：每捆原稿纸用白坯纸 10/3 公斤，每打笔记本用白坯纸 40/3 公斤，每箱练习本用白坯纸 80/3 公斤。生产一捆原稿纸可获利 2 元，生产一打笔记本可获利 3 元，生产一箱练习本可获利 1 元。
问题：
（1）试确定在现有生产条件下的最优生产方案。
（2）如白坯纸的供应量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工的工资支出为每人每月40元，问：要不要招收临时工？
案例6（6-18）、某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。
问题：试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。
一季度 二季度 三季度 四季度 生产能力（台） 单位成本（万元） 25 10.8 35 11.1 30 11.0 10 11.3 二、套材下料问题
案例7（2-15）、某钢筋车间制作一批钢筋（直径相同），长度为3米的100根，长度为4米的60根。已知所用的下料钢筋长度为10米，问怎样下料最省？共需多少根钢筋？
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案例8（2-18）、某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m、2.1 m、1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？共需多少根原料？
案例9（2-21）、现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？ 共需多少板料？ 三、人力资源分配问题
案例10、生产轮班人员的双向选择问题
金伦化工（镇江）有限公司为提高工作效率和增强团队的凝聚力，对28名生产操作人员进行重新分组，拟分成4组，每组7人，由1名组长和6名普通员工组成，28名生产操作人员中已有4名员工被上级任命为4个组的组长。为在24名普通员工和4位组长之间进行最有效的分组，以实现总体满意度值最高，采取了如下的评价办法。
首先，发放调查问卷，由24名普通员工对4位组长进行打分（具体打分方法和流程不在这里进行表述），评价结果如下表所示（得分越低表示满意度越高，反之亦然）：
组 长 普通员工 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 7 19 19 7 1 1 13 19 19 13 1 2 7 7 7 7 13 1 1 1 7 7 19 7 13 19 13 3 19 19 19 13 1 13 13 13 13 13 1 1 1 1 7 4 13 13 13 19 19 7 7 19 19 19 7 13 7 7 19 4
16 17 18 19 20 21 22 23 24 19 1 7 7 13 19 19 1 19 7 7 19 19 1 7 7 7 7 1 19 13 13 7 13 13 13 13 13 13 1 1 19 1 1 19 1 然后，由4位组长对24名普通员工进行选择排序（具体方法和流程不在这里进行表述），评价结果如下表所示（得分越低表示满意度越高，反之亦然）：
组 长 普通员工 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 1 6 2 18 17 14 8 11 3 16 12 22 21 7 4 15 13 9 20 23 19 10 5 24 2 4 5 1 24 20 2 3 18 7 6 10 15 17 19 11 14 12 13 16 21 8 9 22 23 3 5 20 11 19 4 7 10 22 15 12 1 14 9 17 2 13 8 3 18 21 6 16 23 24 4 6 12 8 24 14 10 18 19 13 11 7 20 17 16 9 15 2 1 3 22 4 5 23 21 经过综合评价，24名普通员工与4位组长之间的相互满意度值如下表所示（得分越低表示满意度值越高）：
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