九年级培优竞赛
1．在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
(1)求点C的坐标；
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(2)若抛物线y＝－x＋ax＋4经过点C．
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①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】C的坐标为（3，﹣1）； （2）①抛物线的解析式为y=﹣121x+x+2； 22②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，符合条件的点有P1（﹣1，1），
P2（﹣2，﹣1）两点． 【解析】 试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标；
（2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；
②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）A为直角顶点，过A作AP1垂直于AB，且AP1=AB，过P1作P1M垂直于x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP1，利用AAS可证明三角形AP1M与三角形ACD全等，得出AP1与P1M的长，再由P1为第二象限的点，得出此时P1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作BP2垂直于BA，且BP2=BA，过P2作P2N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形BP2N与三角形AOB全等，得出P2N与BN的长，由P2为第三象限的点，写出P2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP3垂直于BA，且BP3=BA，如图所示，过P3作P3H垂直于y轴，同理可证明三角形P3BH全等于三角形AOB，可得出P3H与BH的长，由P3为第四象限的点，写出P3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标． 试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D，
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∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°， ∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2）， ∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点， ∴C的坐标为（3，﹣1）；
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x+ax+2经过点C，且C（3，﹣1）， 291∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣+3a+2，解得：a=，
22121则抛物线的解析式为y=﹣x+x+2；
22（2）①∵抛物线y=﹣②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，
（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
则延长CA至点P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图所示，
∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°， ∴△AMP1≌△ADC， ∴AM=AD=2，P1M=CD=1，
∴P1（﹣1，1），经检验点P1在抛物线y=﹣121x+x+2上； 22（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB，
得到等腰直角三角形ABP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图，
同理可证△BP2N≌△ABO， ∴NP2=OB=2，BN=OA=1，
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∴P2（﹣2，﹣1），经检验P2（﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣121x+x+2上； 22（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB，
得到等腰直角三角形ABP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图，
同理可证△BP3H≌△BAO， ∴HP3=OB=2，BH=OA=1，
∴P3（2，﹣3），经检验P3（2，﹣3）不在抛物线y=﹣121x+x+2上； 22则符合条件的点有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）两点．
考点：1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形． 2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD沿PD翻拆，点B落在点E处，设PE交AC于F，连接CD
(1)求证：△PCF的周长=2CD；
PE5?，CD=6，求FG的长 EF3152． 【答案】（1）证明见解析；（2）FG的长为14(2)设DE交AC于G，若【解析】
试题分析：.(1)连接CE，根据三角形的角边关系可以得到∠FCE=∠FEC，从而FC=FE，△PCF的周长＝2CD；
(2) 由.(1)结论CP+PF+CF=2CD，和于点K，易得FG的长为PF53?，CD=6，求出CF=EF=2，作GK⊥EFEF32152． 14试题解析：.(1)连接CE，
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A
D E F B P
C
∵CA=CB,D为AB中点， ∴∠BCD=∠ACD=45°，
由翻折可知∠B=∠DEP=45°， ∴∠DCF=∠DEF=45°， CD=BD=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE-∠DCA=∠DEC-∠DEF， 即∠FCE=∠FEC， ∴FC=FE，
∴CF+PF=PE=BP， ∴CP+PF+CF=BC=2CD， ∴△PCF的周长＝2CD； (2)∵PFEF?53， ∴设PF=5x,EF=CF=3x，
在Rt△FCP中,PF2=CP2+CF2
， ∴CP=4x，
∵CP+PF+CF=2CD， ∴4x+5x+3x=62，
x=22， CF=EF=3x=322， 作GK⊥EF于点K，
A
D G E
F
K B P
C
∵tan∠GFE=tan∠PFC=4x43x=3，设GK=4a,FK=3a,EK=4a，
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∴EF=7a=a=32， 232， 14152， FG=5a=14152． ∴FG的长为14考点：三角形综合．
3．如图，抛物线y=－x+4x+5交x轴于A、B（以A左B右)两点，交y轴于点C.
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(1)求直线BC的解析式；
(2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标. 【答案】(1) y=?x?5 (2) S=?5225m?m (3)存在，P(2,9)或P(3,8) 22【解析】
试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，再令x=0求出点C的坐标，设直线BC解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于F，根据抛物线和直线BC的解析式表示出PF，再根据S△PBC=S△PCF+S△PBF整理即可得解；
（3）设AP、BC的交点为E，过点E作EG⊥x轴于G，根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG∥PH，然后判断出△AGE和△AHP相似，根据相似三角形对应边成比例可表示出EG、HG，然后表示出BG，根据OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°，再根据等角对等边可得EG=BG，然后列出方程求出m的值，再根据抛物线解析式求出点P的纵坐标，即可得解．
试题解析：（1）当y=0时，x1=5，x2=－1， ∵A左B右，
∴A(-1，0),B(5，O) 当x=0时，y=5， ∴C（0,5），
设直线BC解析式为y=kx+b,
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