解析几何（第四版）课后习题答案（word可编辑）
第 1 章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1. 下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1） 把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2） 把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3） 把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4） 把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[解]：（1）单位球面； （2）单位圆
（3）直线； （4）相距为 2 的两点 2. 设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 在矢量OA 、OB 、 OC 、OD 、OE 、
A F
OF 、 AB 、 BC 、CD 、 DE 、 EF
和 FA 中，哪些矢量是相等的？
[解]：如图 1-1，在正六边形 ABCDEF 中，
相等的矢量对是：
B E C
O D E
图 1-1
OA和EF；OB和FA；OC和AB；OE和CD；OF和DE. 3. 设在平面上给了一个四边形 ABCD，点 K、L、M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、
ＤＡ的中点，求证： KL ＝ NM . 当 ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：如图 1-2，连结 AC, 则在?BAC 中， 中，NM
KL
1
1
AC. NM 与 AC 方向相同，从而 2
AC. KL 与 AC 方向相同；在?DAC 2
KL＝NM 且 KL 与 NM 方向相同，所以 KL ＝
NM .
4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：
(1) (2) (3) (4) AB 、 CD ;
AE 、 CG ;
AC 、 EG ;
AD 、GF ;
(5) BE 、CH . [解]：相等的矢量对是
图 1—3
（2）、（3）和（5）；
互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.3 数量乘矢量
1. 要使下列各式成立，矢量 a,b 应满足什么条件？
（1） a ? b ? a ? b ; （3） a ? b ? a ? b ; （5） a ? b ? a ? b.
（2） a ? b ? a ? b ; （4） a ? b ? a ? b ;
[解]：（1） a,b 所在的直线垂直时有 a ? b ? a ? b ；
（2） a,b 同向时有 a ? b ? a ? b ; （3） a ? b , 且 a,b 反向时有 a ? b ? a ? b ; （4） a,b 反向时有 a ? b ? a ? b ;
（5） a,b 同向，且 a ? b 时有 a ? b ? a ? b.
2. 设 L、M、N 分别是ΔABC 的三边 BC、CA、AB 的中点，证明：三中线矢量 AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. [证明]：
1
∵ AL ? ( AB ? AC) 2 1
BM ? (BA ? BC)
2 1
CN ? (CA ? CB)
2
1
? AL ? BM ? CN ? ( AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB) ? 0
2
从而三中线矢量 AL, BM ,CN 构成一个三角形。
3. 设 L、M、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明
OA ? OB + OC = OL + OM + ON .
[证明] ∵OA ? OL ? LA OB ? OM ? MB OC ? ON ? NC ?OA ? OB ? OC ? OL ? OM ? ON ? (LA ? MB ? NC)
= OL ? OM ? ON ? ( AL ? BM ? CN )
由上题结论知： AL ? BM ? CN ? 0
?OA ? OB ? OC ? OL ? OM ? ON 4. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.
[证明]：如图 1-4，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点
∵ AD ? OD ? OA BC ? OC ? OB 但 AD ? BC ?OD ? OA ? OC ? OB OA ? OC ? OD ? OB 图 1-4
由于(OA ? OC) ∥ AC, (OB ? OD) ∥ BD, 而 AC 不平行于 BD ，
? OA ? OC ? OD ? OB ? 0 ，
从而 OA=OC，OB=OD。
5. 如图 1-5，设 M 是平行四边形 ABCD 的中心，O 是任意一点，证明
OA + OB + OC + OD ＝4 OM .
[证明]：因为OM ＝ 1
( OA + OC ), OM ＝ 2 1
( OB + OD ), 2
所以 2 OM ＝ 1
( OA + OB + OC + OD ) 2 所以
图 1-5
OA + OB + OC + OD ＝4 OM .
6. 设点 O 是平面上正多边形 A1A2…An 的中心，证明:
OA1 + OA2 +…+ OAn ＝ 0 .
[证明]：因为
OA1 ＋ OA3 ＝? OA2 ,
OA2 ＋ OA4 ＝? OA3 ,
……
OAn?1 + OA1 ＝? OAn ,
OAn ＋ OA2 ＝? OA1 ,
所以 2( OA1 + OA2 +…+ OAn )
＝?( OA1 + OA2 +…+ OAn ),
所以
显然 所以
(?－2)( OA1 + OA2 +…+ OAn )＝ 0 .
?≠2, 即 ?－2≠0. OA1 + OA2 +…+ OAn ＝ 0 .
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
1 .设一直线上三点 A, B, P 满足 AP ＝? PB (??－1),O 是空间任意一点，求证：
OA ? ?OB OP ＝ 1? ??[证明]：如图 1-7，因为
AP ＝ OP － OA , PB ＝ OB － OP ,
所以 OP － OA ＝? ( OB － OP ),
(1+?) OP ＝ OA +? OB ,
图 1-7
OA ? ?OB
.从而 OP ＝ 1 ? ?
2 .在△ABC 中，设 AB ＝ e1 ， AC ＝ e2 ，AT 是角 A 的平 分线（它与 BC 交于 T 点），试将 AT 分解为e1 , e2 的线性组合.
| e1 | [解]：因为 | BT | ＝ ,| TC | | e1 |
且 BT 与TC 方向相同，
| e|
所以 BT ＝ 1 TC .
| e2 | 由上题结论有
| e1 | e ? e 2 1
| e | | e | e ? | e | e 2 1 2 AT ＝＝2 1 .
| e| | e1 | ? | e2 | 1? 1
图 1-8
| e2 | 3 .用矢量法证明：P 是△ABC 重心的充要条件是
.
PA + PB + PC ＝ 0 . [证明]：“ ? ” 若 P 为△ABC 的重心，则
CP ＝2 PE ＝ PA + PB ,
图 1-9
从而 PA + PB － CP = 0 ,
即 PA + PB ＋ PC = 0 .
“ ? ” 若 PA + PB ＋ PC = 0 ,
则 PA + PB ＝－ PC ＝ CP ,
取 E，F，G 分别为 AB，BC，CA 之中点，则有
1
PE ＝ ( PA + PB ).
2
从而 CP ＝2 PE .
同理可证 BP ＝2 PG , AP ＝2 PF .故 P 为△ABC 的重心.
4. 证明三个矢量 a ＝－ e1 +3 e2 +2 e3 , b ＝4 e1 －6 e2 +2 e3 ， c ＝－3 e1 +12 e2 ＋11 e3 共面，
.
其中 a 能否用b , c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式. [证明]：由于矢量e1 , e2 , e3 不共面，即它们线性无关.
.
考虑表达式 ? a +? b +v c ＝ 0 ，即
.? (－ e1 +3 e2 +2 e3 )+? (4 e1 －6 e2 +2 e3 )+v (－3 e1 +12 e2 ＋11 e3 )＝ 0 ,
或 (－?+4?－3v) e1 +(3?－6?＋12v) e2 +(2?+2?＋11v) e3 ＝ 0 .
由于e1 , e2 , e3 线性无关，故有
?? ? ? 4? ? 3v ? 0,
?
??3?－6?＋12v ? 0, ?
??2? ? 2? ?11v ? 0.
解得 ?＝－10，?＝－1，v＝2.
.a 能用b , c 线性表示 由于 ?＝－10?0，所以
11
a ＝－ b ＋ c .
10 5
5. 如图 1-10，OA, OB , OC 是三个两两不共线的矢量，且OC ＝? OA +? OB ，试证 A, B, C
三点共线的充要条件是 ?+?＝1. [证明]：“ ? ”因为 A，B，C 共线，从而有
AC // CB ,
且有 m?－1, 使 AC ＝m CB ,
OC － OA ＝m ( OB － OC ),
(1+m) OC ＝ OA ＋m OB ,
m 1
OB . OA ＋ OC ＝ 1? m 1? m
图 1-10
但已知 OC ＝? OA ＋? OB . 由 OC 对 OA , OB
分解的唯一性可得
1 ?＝ , ?＝ m
1? m
1? m
1 m
+从而 ?+?＝ ＝1. 1? m 1? m
? ” 设 ?+?＝1. 则有OC ＝? OA ＋? OB ＝? OA ＋(1－?) OB “
= OB +?( OA － OB ),
OC － OB ＝?( OA － OB ),
所以 BC ＝? BA ,
从而 BC // BA .
故 A，B，C 三点共线.
§1.5 标架与坐标
. .
1. 在空间直角坐标系{O; i , j , k }下，求 P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a, b, c)关于 xOy 平面的对称点坐标为(a, b, －c)，
M (a, b, c)关于 yOz 平面的对称点坐标为(－a, b, c)， M (a, b, c)关于 xOz 平面的对称点坐标为(a,－b, c)， M (a, b, c)关于 x 轴平面的对称点坐标为(a,－b,－c)， M (a, b, c)关于 y 轴的对称点的坐标为(－a, b,－c)， M (a, b, c)关于 z 轴的对称点的坐标为(－a,－b, c). 类似考虑 P (2,－3，－1)即可.
2. 已知矢量 a , b , c 的分量如下：
(1) a ＝{0, －1, 2}， b ＝{0, 2, －4}， c ＝{1, 2, －1}； (2) a ＝{1, 2, 3}， b ＝{2, －1, 0}， c ＝{0, 5, 6}.
试判别它们是否共面？能否将c 表成 a ， b 的线性组合？若能表示，写出表示式.
0 ?1 2 [解]:(1) 因为 0
2 ? 4 ＝0,所以 a , b , c 三矢量共面, 1 2 ?1 c a ， 又因为 a , b 的对应坐标成比例，即 a // b ，但