故不能将c 表成 a , b 的线性组合.
1 2 3
(2) 因为 2 ?1 0 ＝0,所以 a , b , c 三矢量共面.
0 5 6
又因为 a , b 的对应坐标不成比例，即 a b ，
. a , b 的线性组合. 故可以将. c 表成
设 c ＝? +? , 亦即{0, 5, 6}＝?{1, 2, 3}+?{2, －1, 0}
a b
从而
?? ? 2? ? 0, ?
??2? ? ? ? 0, ? 3? ? 6. ??
解得 ?＝2，?＝－1,
. 所以 b . c ＝2 a － 3. 证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]：设四面体 A1A2A3A4,Ai 对面重心为 Gi, 欲证 AiGi 交于一点(i＝1, 2, 3, 4).
OA? 3OGi 在 A G 上取一点 P ，使 A P ＝3 PG , 从而OP ＝ i ，
i i i i i i i i
1 ? 3
设 Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则
z? z? z? ? x? x? x y? y? y
G 2 3 4 , 2 3 4 , 2 3 4 ?,?1 ? 3 3 ????3
y1 ? y3 ? y4 z? z? z??G2 ? x1 ? x3 ? x4 , 1 3 4 ,
? ??,
3 3 3 ? ??
y1 ? y2 ? y4 z1 ? z2 ? z4 ? ? x1 ? x2 ? x4 , , G ?,?
3 ? 3 3 ????3
y? y? yz? z? z? ? x? x? x
G 1 2 3 , 1 2 3 , 1 2 3 ?,?4 ? 3 3 ????3
所以
?
P1( x 1 ? 3 ? z2 ? z3 ? z4 x2 ? x3 ? x4 y2 ? y3 ? y4
z ? 3 ? y ? 3 ? 1
1 3 3 3, ) , 1 ? 3 1 ? 3 1 ? 3
x1 ? x2 ? x3 ? x4 y1 ? y2 ? y3 ? y4 z1 ? z2 ? z3 ? z4
, , ).4 4 4
同理得 P2?P3?P4?P1，所以 AiGi 交于一点 P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.
?P ( 1
§1.6 矢量在轴上的射影
1．已知矢量 AB 与单位矢量e 的夹角为150，且 AB ? 10 ，求射影矢量e AB 与射影 e AB ，
○
又如果e? ? e ，求射影矢量 e? AB 与射影 e? AB .
[解] 射影e AB = AB cos?(e, AB) ? 10.COS150? ?5 3,
○
射影矢量 e AB = ? 5 3e
∵ e? ? ?e,??(e?, AB) ? 180? ? ?(e, AB) ? 30??
?
○ ?射影 e? AB = AB cos?(e?, AB) ? 10.COS30? 5 3,
射影矢量 e? AB = 5 3e??
2 试证明：射影 l(? a1 ? ? a2 +…+?n an )＝?1 射影 l a 1 + ?2 射影 l a2
+…+?n 射影 l an .
[证明]：用数学归纳法来证.
当 n＝2 时，有
射影 l(?1 a1 ? ?2 a2 )＝射影 l( ?1 a1 )+射影 l( ?2 a2 )＝?1 射影 l a +?2 射影 l a2 . 1 假设当 n＝k 时等式成立，即有
射影 l( ?1 a1 ?… ? ?k ak )＝?1 射影 l a1 +…+?k 射影 l ak . 欲证当 n＝k+1 时亦然. 事实上射影 l( ?1 a1 ?… ? ?k ak ?
?k ?1 ak ?1 )
＝射影 l[( ?1 a1 ?… ? ?k ak )+ ?k ?1 ak ?1 ] ＝射影 l( ?1 a1 ?… ? ?k ak )+射影 l( ?k ?1 ak ?1 )
＝?1 射影 l a1 +…+?k 射影 l ak +?k+1 射影 l ak ?1 故等式对自然数 n 成立.
§1.7 两矢量的数性积 . . . 1. 证明在平面上如 果 ，且 a ? ＝ b ? m
(i=1,2)，则有 a ＝ b . mi i . . . m1 ,所以，对该平面上任意矢量m2
[证明]: 因为 m c ＝? ＋? mm1 m2 , . . 2 . 1
( a － b )? c ＝( a － b )(? ＋? )
m1 m2 . . ＝? ( a － b )+? ( a － b )
m1 m2
. . . . ＝?( a m1 － )+?( a － b m1 m2 b m2 )＝0, 故 ( a － b )? c . .
0 由c 的任意性知 a － b ＝ .
从而 a ＝ b .
2. 已知矢量 a,b 互相垂直，矢量c 与 a,b 的夹角都是60，且 a ? 1, b ? 2, c ? 3 计算：
?
(1)(a ? b)2 ;(2)(a ? b)(a ? b);(3)(3a ? 2b).(b ? 3c);(4)(a ? 2b ? c)2
[解]：
(1)(a ? b)? a? 2a.b ? b? 1 ? 2 ? 0 ? 22 ? 5; (2)(a ? b)(a ? b) ? a? b? 1 ? 22 ? ?3; (3)(3a ? 2b).(b ? 3c) ? 3a.b ? 2b ? 9a.c ? 6b.c 7
? ?8 ? 9 ? 3.cos 60? ? 6 ? 2 ? 3cos 60? ? ? ;
2 (4)(a ? 2b ? c)? a? 4ab ? 2ac ? 4bc ? 4b? c2 ? 1 ? 2 ? 3cos 60? ? 4 ? 2 ? 3cos 60? ? 4 ? 22 ? 32 ? 11
2
2 2 2
2
2
2
2 2 3. 用矢量法证明以下各题：
(1) 三角形的余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA;
(2) 三角形各边的垂直 平分线共点且这点到各顶点等距.
证明：（1）如图 1-21，
图 1-11
△ABC 中，设 AC ＝ b , AB ＝
c , BC ＝ a ，
且| a |＝a，| b |＝b,| c |＝c. 则a ＝ b － c ,
a 2 ＝( b － c )2 ＝ b 2+ c 2 － 2 b ? c ＝ b 2+ c 2 －
2| b || c |cosA. 此即 a2＝b2+c2－2bccosA.
(2) 如图 1-22，设 AB, BC 边的垂直平分线 PD, PE 相交于 P,
图 1-12
D, E, F 为 AB, BC, CA 的中点, 设 PA ＝ a , PB ＝ b , PC ＝ c , 则 AB ＝ b － a , BC ＝ c
1
— b , CA ＝ a － c , PD ＝ ( a + b ),
2
1
PE ＝ ( c ＋ b ).
2 因为
PD ? AB , PE ? BC ,
1 2
( a + b )( b － a )＝ ( b － a 2)＝0, 所以 2 2
1 1 ( b + c )( c － b )＝ ( c 2－ b 2)＝0, 2 2
1
从而有 a 2＝ b 2＝ c 2, 即 | a |2＝| b |2＝| c |2, 1 1
所以 ( c ＋ a )( a － c )＝ ( a 2－ c 2)＝0,
2 2 所以 PF ? CA , 且 | a |＝| b |＝| c |.
故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
§1.8
2
2
2
两矢量的失性积
1. 证明( a ? b )≤ a ? b ，并说明在什么情形下等号成立.
[证明]：( a ? b )＝| a ? b |＝| a || b |sin?( a , b )
2
2
222
≤| a || b |＝ a 2? b 2.
要使等号成立, 必须 sin2?( a , b )＝1, 从而 sin?( a , b )＝1, 故 ?( a , b )＝ ，即当 a ? b 时，等号成立. 2
2. 证明如果a + b + c ＝ 0 ，那么 a ? b ＝ b ? c ＝ c ? a ，并说明它的几何意义.
22
?
[证明]： 由a + b + c ＝ 0 ， 0 , 有 ( a + b + c )? c ＝ 0 ? c ＝ 0 , 但 c ? c ＝
于是
a ? c + b ? c ＝ 0 ,
所以 b ? c ＝ c ? a .
同理 由 ( a + b + c )? a ＝ 0 , 有 c ? a ＝ a ? b ,
从而 a ? b ＝ b ? c ＝ c ? a .
其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.
3. 如果非零矢量 ri (i＝1,2,3)满足 r1 ? r2 ? r3 ， r2 ＝ r3 ? r1 ， r3 ＝ r1 ? r2 ，那么 r1 , r2 , r3 是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.
[证明]：由矢性积的定义易知r1 , r2 , r3 彼此垂直，且构成右手系.
下证它们均为单位矢量.
因为 r1 ＝ r2 ? r3 ， r2 ＝ r3 ? r1 ,
所以 | r1 |＝| r2 || r3 |, 所 以 | r |＝| r |2| r |.
1
3
1
1
3
| r2 |＝| r3 || r1 |,
由于 | r |?0，从而 | r |2＝1，| r |＝1.
3
同理可证 | r2 |＝1，| r1 |＝1.
从而 r1 , r2 , r3 都是单位矢量. 4. 用矢量方法证明： （1） 三角形的正弦定理
图 1-13
a b ＝ c .
＝ sin A sin B sin C
（2） 三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：
?2＝p(p－a)(p－b)(p－c).
1
式中 p＝ (a+b+c)是三角形的半周长，? 为三角形的面积.
2
[证明]： (1) 如图 1-13，在△ABC 中，设 BC ＝ a ， CA ＝ b ， AB ＝ c ，
且| a |＝a，| b |＝b, | c |＝c, 则 从而有 b ? c ＝ c ? a ＝ a ? b ,
a + b + c ＝ 0 ,
2()
| b ? c |＝| c ? a |＝| a ? b |,
bcsinA＝casinB＝absinC,
ac
于是 ＝ b ＝ .
sin A sin B sin C
同上题图，△ABC 的面积为
1
?＝ | a ? b |,
2
1
所以 ?2＝ ( a ? b )2.
4 所以 因为
( a ? b )+( a ? b )＝ a 2 b 2,
2
2
所以 由于 从而
1
?2＝ [ a 2 b 2－( a ? b )2].
4 a + b + c ＝ 0 ,
a + b ＝－ c ，( a ＋ b )＝ c 2,
1 1
所以 a b ＝ ( c 2－ a 2－ b 2)＝ (c2－a2－b2),
2 2 1 1
故有 ?2＝ [a2b2－ (c2－a2－b2)2]
4 4 1
＝ [2ab－(c2－a2－b2)][2ab+(c2－a2－b2)] 16 1
＝ [(a+b)2－c2][ c 2－(a－b)2] 16 1
＝ (a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b) 16 1
＝ ?2p?(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a). 16 2
所以 ?=p(p?a)(p?b)(p?c), 或 ?= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) .
2
§1.9
三矢量的混合积
1. 设a , b , c 为三个非零矢量，证明
(1) ( a , b , c +? a +? b ) =( a , b , c );
(2) ( a ＋ b , b ＋ c , c ＋ a ) =2( a , b , c ).
[证明]：(1)左端=( a ? b )?( c +? a +? b )
=( a ? b )? c +( a ? b )?(? a )+( a ? b )?(? b )
=( a ? b )? c +?( a ? b )? a +?( a ? b )? b =( a b c )+?( a b a )+?( a b b )
=( a b c )=右端.
(2) 左端=[( b + c )?( c + a )]?( a + b )
=[ b ? c + b ? a + c ? a ]?( a + b )
=( b ? c )? a +( b ? a )? a +( c ? a )? a +( b ? c )? b +( b ? a )? b +( c ? a )? b
=( b c a )+( c a b )=2( a b c )=右端.
2. 设径矢OA ? r1 , OB ? r2 , OC ? r3 , 证明 R ＝( r1 ? r2 )＋( r2 ? r3 )＋( r3 ? r1 ) 垂直于 ABC 平面.
[证明]:由于 AB ? R = (r2 ? r1 ) ?[ (r1 ? r2 ) ? (r2 ? r3 ) ? (r3 ? r1 ) ]
= (r2 r1 r2 ) ? (r2 r2 r3 ) ? (r2 r3 r1 ) ? (r1 r1 r2 ) ? (r1 r2 r3 ) ? (r1 r3 r1 )
= (r1 r2 r3 ) ? (r1 r2 r3 ) ? 0 ,
所以 AB?R .
同理可证 AC?R . 所以 R ?平面 ABC. . 3. u = a e + b e + , ? a e + b e + c e , w = a e + b e + c e , c1 e3 v 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 3 1 3 2 3 3