11、如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y
轴正半轴交于点C，且OC＝OB.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求出 此时点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针方向旋转90°后，点A的对应点A′ 恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
k
12、如图，已知抛物线y＝(x＋2)(x－4)(k为常数，且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，
8 B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－
3
x＋b与抛物线的另一交点为D. 3
2
(1)若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k 的值；
(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿 线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
13、已知抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左 侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1.
(1)求抛物线解析式；
(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1 (3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小 时点O，B移动后的坐标及L的最小值． 2 14、如图，抛物线y＝ax－8ax＋12a(a＞0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴 交于点C，点D的坐标为(－6，0)，且∠ACD＝90°. (1)请直接写出A、B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周 长的最小值；若不存在，说明理由； (4)平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA 的交点为G，与x轴的交点为H(t，0)．记△ACD在直线m左侧部分的面积为S，求S关 于t的函数关系式及自变量t的取值范围． 2 15、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A、B两点 (点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线 的另一个交点为D，且CD＝4AC. (1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示) (2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 2 5，求a的值； 4(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能 否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 参考答案 1、【思路点拨】 (1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式； (2)利用抛物线的轴对称性，BC与对称轴的交点即为M，继而求出其坐标； (3)设P(－1，t)，用含t的代数式表示PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t的值． 【解答】 (1)依题意，得 b a＝－1，－＝－1，???2a? ?a＋b＋c＝0，解得?b＝－2， ??c＝3.??c＝3， ∴抛物线解析式为y＝－x－2x＋3. ∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)， ∴B(－3，0)． ∴把B(－3，0)、C(0，3)分别代入直线y＝mx＋n，得 ???－3m＋n＝0，?m＝1，?解得? ?n＝3，?n＝3.?? 2 ∴直线y＝mx＋n的解析式为y＝x＋3. (2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2. ∴M(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为(－1，2)． (3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)， 222222222 ∴BC＝18，PB＝(－1＋3)＋t＝4＋t，PC＝(－1)＋(t－3)＝t－6t＋10. 22222 ①若点B为直角顶点，则BC＋PB＝PC，即18＋4＋t＝t－6t＋10，解得t＝－2； 22222 ②若点C为直角顶点，则BC＋PC＝PB，即18＋t－6t＋10＝4＋t，解得t＝4； 22222 ③若点P为直角顶点，则PB＋PC＝BC，即4＋t＋t－6t＋10＝18； 3＋173－17 解得t1＝，t2＝. 22 3＋173－17 综上所述，P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，)或(－1，)． 222、【思路点拨】 (1)把A(－1，0)、B(3，0)两点的坐标代入y＝－x＋bx＋c即可求出b 和c的值，进而求出抛物线的解析式； 2 (2)设D(t，－t＋2t＋3)，作DH⊥x轴，则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC，进而得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质，确定D点坐标与S△BCD的最大值； (3)因为两三角形的底边MB相同，所以只需满足MB上的高相等即可满足题意． ?－1－b＋c＝0，?b＝2，?? 【解答】 (1)由?解得? ??－9＋3b＋c＝0，c＝3.?? 2 ∴抛物线解析式为：y＝－x＋2x＋3. 2 (2)设D(t，－t＋2t＋3)，作DH⊥x轴． 令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)． 则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC 2 11122 ＝(－t＋2t＋3＋3)t＋(3－t)(－t＋2t＋3)－3333 222329 ＝－t＋t. 223 ∵－＜0， 2 331527＝时，即D(，)时，S△BCD有最大值，且最大面积为. 32248 23（－） 2 92 ∴当t＝－ (3)∵P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一， ∵直线BC为y＝－x＋3， ∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5. ??y＝－x＋5，由?解得Q1(2，3)； 2 ?y＝－x＋2x＋3，? ∵直线PM为x＝1，直线BC为y＝－x＋3， ∴M(1，2)． 设PM与x轴交于E点，∵PM＝EM＝2， ∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1. 从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一． ??y＝－x＋1，3＋171＋173－171－17由?解得Q(，－)，Q(，－)． 232 2222?y＝－x＋2x＋3，? 3＋171＋173－171－17 ∴满足条件的Q点为Q1(2，3)，Q2(，－)，Q3(，－)． 22222 3、【解答】 (1)∵抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点坐标为C(0，－2)， ∴b＝0，c＝－2. 2 ∵y＝ax＋bx＋c过点A(－1，0)， ∴0＝a＋0－2，a＝2， 2 ∴抛物线的解析式为y＝2x－2. 2 当y＝0时，2x－2＝0，解得x＝±1， ∴点B的坐标为(1，0)． (2)连接BC.设P(m，n)． ∵∠PDB＝∠BOC＝90°， ∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况： OBOC12m－1 ①若△OCB∽△DBP，则＝，即＝，解得n＝. DPDBnm－12m－1 ∴此时点P坐标为(m，)； 2 OBOC12 ②若△OCB∽△DPB，则＝，即＝，解得n＝2m－2. DBDPm－1n∴此时点P坐标为(m，2m－2)．