钛酸钙 钛酸钡 CaTiO3 BaTiO2 陶瓷 晶体 陶瓷 130~150 160~4500* 1700 △△取决于具体化学组成 *沿不同晶轴方向 4．分界面上的边界条件
要研究电场中不同地点处场量的分布情况，需要解电场的微分方程。当电场中存在两种或多种物质时，必须对每种物质所在区域分别求解，其最终解答与不同物质分界面上的边界条件有关。分界面上的边界条件是指两种不同物质分界面两侧，每种场量必须满足的关系。在静电场中，判定边界条件的简便方法是采用积分形式的静电场方程。 （1）两种电介质分界面上的边界条件
图2-3为介质1和介质2分界面两侧的电场。设界两侧的电场强度和电位移分别为
??????，E1，D1和E2、D2。根据静电场守恒特性，电场强度的环路积分为零（?E?dl?0）
可以得到电场强度沿分界面的切线分量E1l、E2l连续，即
E1l?E2l (2-25)
按照高斯定理可得界面上这两种介质中电位移的关系为
D2n?D1n??（-26）
??式中D1n和D2n分别为电位移D1和D2在分界面上的法线分量，?为分界面上自
由电荷面密度，当?=0时，有
D1n=D2n （2-27）
上式表明，当分界面上不存在自由电荷时，电位移垂直于分界面的法线分量必须连续。若介质1和介质2的介电常数及相对介电常数分别为?,?1,?2,?2r根据式（2-24）有
D1n??1E1n??0?r1E1n （2-28） D2n??2E2n??0?r2E2n （2-29）
式中E1n和E2n分别为电场强度E1和E2的法线分量。由上式可得
?? 8
E1n/E2n??r2/?r1 （2-30）
上式表明，在两种介质的分界面上，电场强度的法线分量不连续，与其介质常数成反比。
图2-3 两种电介质分界面上场量的关系
??1由图2-3可见，在电介质1中，电场强度E1与分界面的法线成?1角进入介质2，
?可视为入射角；在介质2中E2与分界面的法线成?2角，?2可视为折射角，根据式
（2-27）有
?0?r1E1cos?1??0?r2E2cos?2 （2-31）
据式（2-25）有
E1sin?1?E2sin?2 （2-32）
由以上两式可得
tg?1/tg?2??r1/?r2 （2-33）
上式为复合电介质中静电场的基本关系。
两种电介质分界面上的边界条件还可以用电位?来表示。在静电场中，场量是有限值，因此在分界面上电位必须是连续的，即
?1??2 （2-34）
其中?1,?2分别表示分界面两侧介质1和介质2的电位。考虑到以下关系式
E????/?n （2-35）
9
Dn???0?r???/?n? （2-36）
根据分界面上的电位移法分量连续的条件可得
?r1??1????r22 （2-37） ?n?n这也是复合介质中静电场基本关系的另一种表示方法。 （2）导体与电介质分界面上的边界条件
在静电场中，导体内的电场强度为零。根据E????，导体的电位为一常量，因此导体内部和表面是一个等位体，导体表面任何一点的电场强度方向与导体表面垂直，显然，带电导体的电荷分布在导体表面。根据以上情况，在导体（设为第一种物质）与电介质（设为第二种物质）分界面上的边界条件为
E11?E21?0 (2-38) D11?D21?0 (2-39)
E1n?0, D1n?0 (2-40) E2n??/? D2n?? (2-41)
式（2-41）如用电位表示则为
?1??2,?5．复合电介质的电场 （1）无限均匀媒质中的介球
??2??? ?n （2-42）
设有一个介电常数为?1的无限大的均匀电介质（称为第一电介质），介质中电场分布均匀，电场强度为E。若在此介质中镶嵌一个介电常数为?2，半径为?的电介质圆球（称为第二电介质），求球内外电场分布。
解：球内外无空间电荷存在，因此球内外任何一点电位都满足拉普拉斯方程：
?2??0。我们采用球坐标系（r,?,?）来解方程。由图2-4可见，取介质球心为原点，
?z轴方向与E方向平行，这样电场分布对z轴对称，因此与?无关。根据拉普拉斯方程
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可写为
?1??2??1????r?sin????????0 ?r2?r2?r??rsin???????上列方程的通解可表示为
（2-43）
?1???Anrn??2???Cnrn? z?n?0???Bn??Pn?cos?? n?1r?Dn??Pn?cos?? rn?1? （2-44a）
?n?0? （2-44b）
?E P ? r?1 ? ?2 ?y? x
图2-4 电介质中不同介电常数的介质球
式中?1和?2分别是球外介质和球内介质中的电位函数，P?)为勒让德多项n(cos式，An、Bn、Cn、Cn则为待定系数。
以上各待定系数可按下列分界面上的边界条件确定： ①远离原点的电场不受引入介质球的影响仍然等于E，即
??1r????Ez??Ercos? ??2 （1）
②在两种介质的分界面上电位必须连续，即
?1r??r?? （2）
③两介质分界面上不存在自由电荷时，电位移垂直于分界面上的法线分量必须连
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续，即
?1?④在球心（r???1????2????? 2???r?r????r?r?? （3）
?0）处?2是有限值。
按照边界条件①和勒让德多项式线性独立的性质，除A1以外，所有其它的An系数都是零，并且有A1可写为
??E。根据边界条件④，所有的Cn系数为零。这样式（2-44）就
??1??n?0Brn?1Pn?cos???Ercos? （2-45a）
?2??CnrnPn?cos??
n?0? (2-45b)
对以上两式再分别应用边界条件②和③，则对任何n?1的正整数（包括零）分别有
Bnn?Ca （2-46） nn?1a??1?n?1?解以上联立方程可得
Bn??2nCnan?1 （2-47） n?2aBn=0 Cn=0
当n?1时有
B1?Ea?C1a a2?1?解此联立方程得
?2B1??E??C1?2 （2-48） 3?a?B1?
?2??13aE
2?1??2 （2-49）
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