C1??3?1E （2-50）
2?1??2将以上所得关系代入式（2-45）则得
??2??1a3??1???2???r3?1??Ez （2-51a）
2?1??2???3?1Ez （2-51b）
2?1??2介质球内的电场强度E2可由式（2-51）得出
???3?1E2??2?E （2-52）
?z2?1??2上式表明介质球内的电场是均匀电场，并与E的方向一致。 （2）电介质中空球腔内中心偶极子的电场
设有一介电常数为?的无限大均匀电介质，在此介质中有一个半径为?的真空小球腔，若在该球腔中心有一个偶极子，其偶极矩为u，求其电场分布。
解：球内外无空间电荷存在，其电场分布满足拉普拉斯方程。选用球坐标，以球腔中心为原点，并取z轴与u的方向一致，因此电场分布对z轴对称，而与?无关。这时其拉普拉斯方程与式（2-43）完全一致，方程的解也具有与式（2-44）相同的形式，但必须满足以下边界条件：
①离球腔中心无限远处偶矩的作用可以忽略不计，即
???1其中?1表示电介质中的电位
②球腔表面电位必须连续，即
r???0
（1）
?1r?a??2r?a （2）
③电位移垂直真球腔表面分量必须连续，即
?????1????????0?2? ??r?r?a??r?r?a （3）
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④当球面半径无限增大时，即偶极子处于无限在的真空中时，偶极子电位是
?2a????cos? 24??0r （4）
现在根据以上四个边界条件确定式（2-44）An、Bn、Cn、Cn四个待定系数。将边界条件①和勒让德多项式线性独立的性质用于式（2-44a），可得An?0，因此有
??n1??BP?cos?? n?0rn?1 将边界条件②和③用于式（2-53）和式（2-44b）可得
BnDnan?1?Cnan?an?1 ??r?n?1?Bnn?Dnan?2?Cnna1??n?1?an?2 解以上联立方程可得
C1??n?1?1n????r?n?Dn r??r?na2a?1Bn?2n?1n???Dn
rr?n将式（2-55）代入式（2-44b）并根据边界条件④有
??2a????Dn??cos? n?0rn?1Pncos???4??20r由上式得
n?1,D1??/4??0n?1,D
1?0将以上关系式代入式（2-55）和式（2-56）可得 当n?1时，
B?1?32??14?? r0 2-53） 2-54） 2-55）
2-56）
2-57）
(2-58)
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（（（（（
C1??当n?1时，Bn=0，Cn=0
2??r?1?1? 32?r?1a4??0(2-59)
将以上所得待定系数Bn、Cn和Dn代入式（2-53）和式（2-44b）则得
?1?3?cos?1?4??0r2?2?r?1?4??0?12??r?1????z? （2-60） ?3?32?r?1?r?r?2??r?1??1?1??z （2-61） 33?4??0???r2??1ar???由上式可得真空球腔内电场强度E2为
?2????1?3??r0?0?2??r?1?1??E2??grad?2??r?3??? （2-62） ?334??0?r2?r?1a?r?真空球腔内的电场E2可以分成以下两个部分：
???1?3?0?r0?0??E??r?3? ?34??0?rr? （2-63）
??1?2??r?1???Er? （2-64） 3?4??0?2??1a??r?将式（2-63）与偶极子电场比较可以看出E?是球腔中心偶极子在球腔内建立的电?场，Er则是电介质与球腔界面上的极化电荷在球腔内建立的电场。
6．电介质极化的宏观参数与微观参数
以上讨论指出，从宏观介电行为来看，电介质与真空的唯一区别是它的介电常数比真空大，是真空的?r倍。这相当于把电介质看成是连续均匀的一片，这个“形象”实际上是不确切的。电介质实际上是不连续不均匀的，它是由原子、分子或离子等微粒所组成的。因此从微观上来看，极化强度P应定义如下：极化强度是电介质单位体积中所有极化粒子偶极矩的向量和。若单位体积中有n0个极化粒子，各个极化粒子偶极
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矩的平均值为?，则有
???P?n0?? （2-65）
对于线性极化，?与电场强度成正比，有
?????Er ? （2-66）
?式中Er是作用在各原子、分子或离子等生粒上的局域电场，称为有效电场；?为
比例系数，称为原子、分子或离子的极化率，其单位为法·米2（F·m2），?是表征电介质各种微粒极化性质的微观极化参数。
将式（2-66）代入式（2-65）有
??P?n0?Er （2-67）
注意到P???0E，其中E为介质中的宏观平均电场，可得
???????P???0E???r?1??0E?n0?Er （2-68）
或者
?n0?E?r?1?? （2-69）
?0E?以上两式表示了电介质中与极化有关的宏观参数（?,?r,E）与微观参数
?（?,n0,Er）之间的关系。
1．2 洛伦兹有效电场
1．洛伦兹（Lorentz）有效电场
有效电场不同于宏观平均电场，是作用在微观粒子上的局域电场。作用在某一被考察原子、分子或离子上的有效电场可以看成是自由电荷和除该粒子以外的所有其它极化粒子在被考察粒子上建立的电场。要直接计算所有其它极化粒子对被考察粒子的作用是很困难的，为此，很多学者提出了各种计算模型。本书将讨论两种常用的模型，这里首先讨论洛伦兹模型对有效电场的计算。
?图2-5（a）给了洛伦兹有效电场度算模型。这个模型可表述如下：在均匀电场E作
?用下，电介质均匀极化，极化强度为P。设电介质中某一被考虑粒子所在点为O，以O为中心想象作一个半径为a的圆球。作这人想象圆球的目的是：试图把球内外介质对球
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心被考察粒子的作用按不同方式进行处理。洛伦兹把离子被考察很远的球外电介质作宏观处理。换句话说，就是把球外的电介质看成是介电常数为?的连续均匀媒质。这样一来，有效电场所要计算的其它极化粒子的作用，就从整个电介质的范围缩小到球内的极化粒子上了。为达到以上目的，所作圆球的半径a，一方面，在微观尺度上要求尽量的大，比粒子间距离大得多，以使球外介质的作用可以用宏观方法予以处理；另一方面，在宏观上要足够的小，比两极板间的距离要不得多，以使球内介质的不连续不均匀性对球外电介质中的电场颁不至发生影响。这个想象的电介质圆球常被称为洛伦兹球，这就是洛伦兹计算模型。
?按照以上模型，应用叠加原理，作用于球心被考察粒子上的电场强度Ee由以下几
个分量组成（见图2-5（b））
（a） (b)
图2-5 洛伦兹有效电场计算模型
????Ee?E0?E1?E2 （2-70）
?式中：E0为极板上自由电荷所产生的电场强度； ?E1为球外极化电介质所产生的电场强度； ?E2为球内极化粒子所产生的电场强度。
极板上自由电荷在真空中所产生的电场强度E0，根据真空中的高斯定理可计算如下：
?q/A?DE0???
?0?0?0 17