式中q为极板上自由电荷的电量，A为极板面积，? ?q/A则为自由电荷面密度。
由图2-5（a）可见，球外极化电介质在球心所产生的电场强度E1包括两项：一项为电介质与极板界面上极化电荷在真空中所生产的电场强度EP，按照式（2-14）有
???EP??P/?0
（2-71）
?另一项则为洛伦兹球表面极化电荷在真空中所建立的电场强度E'P。因此有
???E1?EP?E'P （2-71）
洛伦兹球内外为同一电介质，为什么在该球表面上会出现感生极化电荷呢？这是不难理解的。洛伦兹模型把球外的电介质看成是介电常数为?的连续均匀媒质，而把球内电介质看成是充有很多极化粒子的真空。这样各伦兹球面就相当于媒质与真空的界面。于是在这个介面上就有感生极化电荷，根据模型假设，球外仍保持均匀电场E不变，因此球面上的极化强度也仍为P。这样球面上某处极化电荷密度?'P根据式（2-9）就为
???'P?Pn?Pcos?
?式中?是P与该处面元外法线方向的夹角。
球面极化电荷在球心O处所形成的电场可以按以下方法进行计算：由图2-5（b）可见，在垂直于电场方向，把球面分成无数个无限小的球环，球环半径为asin?，宽为ad?，这样球环表面积则为2?a2'sina，于是可得球环表面上极化电荷dqP是
dqp?2?a2sin?d?Pcos? （2-72）
?'在球心O处所形成的平行于E方向的电场强度分量dE'P//为 dqP??dq'PPsin?cos2?dE'P//?cos??d? （2-73） 22?4??0a0?整个球面上的极化电荷在球心O处所形成的平行于E方向的电场强度分量E'P//则为
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E'P//??球面dE'P//?P2?0?x0sin?cos2d??P （2-74） 3?0?由于所取球环在整个球面上具有对称性，球面极化电荷所形成的垂直于E方向的
电场强度分量为零，因此有
???E'p?E'P//?P/3?0 （2-75）
由式可见，洛伦兹球面上的极化电荷在球心O处的电场与电介质球内的退极化电场（见图2-2）大小相等方向相反。将式（2-75）代入式（2-71）可得
?????PP （2-76） E1?EP?E'P????03?0?球内极化粒子作用在球心被考察粒子上的电场E2则不能一概而论。它主要取决于
电介质的组成和结构。但遗憾的是鉴于物质微观结构的复杂性，虽然洛伦兹模型已把求解其它极化粒子的作用缩小到尽可能小的范围，但仍旧难于直接教育处，因此除了
???E2?0或E2=0的特例以外，其它电介质的E2，还难以进行计算。
?现在设E2=0，并将式（2-76）代入式（2-70）可得
????Er?E0?P/?0?P/3?0
（2-77）
?E可以看出，式（2-77）前面两项的和就是电介质中的宏观平均电场，将式（2-77）
?前面两项的和就是电介质中的宏观平均电场E，将式（2-68）代入，则上式可表示为
????r?2?Er?E?P/3?0?E （2-78）
3这就是洛伦兹有效电场。由式可见，洛伦兹电场是由宏观平均电场和洛伦兹球面上极化电荷电场两部分叠加而成的。由于电介质相对介电常数恒大于小1，因此洛伦兹有效电场总是大于宏观平均电场。
洛伦兹有效电场也可以从宏观上通过电介质圆球退极化电场求得。洛伦兹模型也
??相当于在电场强度为E，极化强度为P的电介质中取出一个圆球，该球以被考察的粒
子为球心，以a为半径。圆球取出以后，在电介质中留下一个真空球腔，设球腔内电场
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??强度为Er；所取出的电介质球内退极化电场强度Ed为
??Ed?EP??P/3?0 （2-79）
这样，球腔中的电场与所取出的介质球内的退极化电场相叠加就是未取圆球时电介质中的宏观平均电场，即
???Er?EP?E
由此得
（2-80）
?????P?r?2?Er?E?EP?E??E
3?03?这就是洛伦兹有效电场。以上讨论的洛伦兹有效电场仅适用于E2趋于零或等于零
的电介质。即极化粒子之间的相互作用可以忽略不计或相互抵消的电介质。通常认为适用于洛伦兹电场的电介质有：气体、非极性电介质、结构高度对称的立方晶体等。对于极性液体和固体电介质，由于偶极分子间相互作用较强，洛伦兹有效电场就再适用了。 2．克劳休斯—莫索缔（clausius-Mossotti）方程
将式（2-78）代入式（2-68）可得
?r?1n0a?
?4?23?0 （2-81）
上式称为克劳休斯—莫索缔方程，简称克—莫方程。这是在采用洛伦兹有效电场的情况下，联系电介质极化宏观与微观参数的一个关系式。
克—莫方程右端n0是电介质单位体积内的极化粒子数。如果我们以摩尔体积
M/?（其中M和?分别为电介质的摩尔质量和密度）来代替单位体积。则
?M/??n0?N0?6.02?1023/mol
这就是阿佛加德罗常数。将N0代替n0则式（2-81）可写为
（2-82）
?r?1MN0a?P???
?r?2?3?0（2-83）
上式中[P]称为摩尔极化。由式右端可见，对于定的电介质，当极化率?有确定的值，并且与密度?无关时，[P]为一常数。左端式表明，当[P]为常数时，?r
??1?/??r?2?20
与密度成正比。通常介电常数?r随着电介质密度?的增大而增大。其物理意义也是容易理解的，因为随着电介质密度?增加，单位体积内极化粒子数n0增多，所以?r增大。
表2-2列出了氢气在各个不同大气压下，相对介电常数?r的测量数据，这时?r从1.002增至1.17；在相应大气压下的气体密度也从0.4×10增至26.8×10kg/m。表中列出了由测量数据按式（2-83）计算而得的摩尔极化[P]。由表可见，无论在中气压或在高气压下，在误差并允许范围内[P]都是一个常数。这表明克——莫方程对于至少是中压气体与实验结果十分吻合。
表2-2 氢气的极化参数（99.93℃） P （atm） 13.56 46.46 88.06 141.47 221.39 478.75 926.10 1229.25 1425.36 6
6
3
? (106kg/m3) 0.439 1.482 2.751 4.305 6.484 12.496 20.374 24.504 26.833 ?r 1.00266 1.00898 1.01670 1.02628 1.03966 1.07750 1.12840 1.15620 1.17232 ?r?1M ?r?2?4.036 4.028 4.024 4.034 4.024 4.030 4.028 4.038 4.050 显然，克—莫方程的应用范围应限制在洛伦兹有效电场的适用范围内。但是在高频交变电场作用上，克—莫方程也可用于极性电介质。这将在下一章中进行讨论。
在光频范围内，电介质的电介常数?r可用折射率n来表示。根据电磁波理论，电磁波（包括光波）在电介质中的传播速度v为
v?c/?r?r
（2-84）
式中c为电磁波在真空中的传播速度，即光速。?r为电介质的相对导磁率，对于非磁性媒质，?r=1。因子
?r?r称为折射率，以n表示，即
（2-85）
n??r?r??r
因此有
21
?r?n2 （2-86）
即电介质的介电常数等于折射率的平方。在光频范围内，电介南的介电常数?r等于光频介电常数??，粒子的极化率?等于电子位移极化率?e，即
?r???,???e
于是式（2-86）可写为
???n2
将以上各式代入式（2-81）克—莫方程变为
???1n2?1n0?e?????2n2?23?0
（2-88）
上式也称为洛伦兹——洛伦茨（lorentz-Lorenz）方程。
1．3 昂沙格有效电场
来自洛伦兹有效电场的克—莫方程不适用于极性电介持，经各种修正以后的方程仍不适用。本节介绍可用于极性液体电介质的昂沙极（Onsager）有效电场。
昂沙格有效电场是按照贝尔（Bell）有效电场计算模型进行计算的，贝尔模型可描述如下：若在一介电常数?的连续均匀的极性电介质中，有某一个被考察的偶极分子M，
?E它的固有偶极矩为?0，设电介质中宏观平均电场强度为，为了考虑所有其它极化分
?子对M的作用，贝尔把该分子从电介质中挖出来，用一个以M为中心，a为半径，在中心有一个点偶极子的真空球腔来代替这个分子。中心偶极子的偶极矩为?0，而且是可以极化的。以上就是贝尔模型。a的选取对于有效电场的计算结果是有影响的，贝尔把a取为分子半径。昂沙格则采用以下关系：
??4??n0?a3??1 （2-89） ?3??按照昂沙格分子模型，形成球腔中电场分布的场源有宏观平均电场E和中心点偶
??极子?0。据此，作用在被考察分子上的电场Ee有以下两部分：
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其中n0为单位体积的分子数，这种模型便被称为昂沙格分子模型。