第五章
【例5.1】某人在40岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付。以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）和利率5%，计算趸缴净保费。 解：趸缴净保费为：
10000A40:3=10000（v×q40+v×p40×q41+v×2p40×q42）
123 =
(1?0.001650)?(1?0.001812)?0.0019931.053
=49.28（元）
【例5.2】张某在50岁时投保了一份保额 100000元的30年定期寿险。假x设lx=1000（1-105 ），预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。 解：该生命表的最大年龄是105岁，所以t的取值范围是0到55，所求的赔付现值是：
100000A50:30?100000?1.08?(t?1)?t1t?029p?q5050?t
其中
tp?l50?t?50l5055?t 55q50?t?1?p50?t?55?t?(54?t)1?
55?t55?t故，该保单的趸缴净保费是： 100000A50:30?100000?1.08?(t?1)?1t?02955?t1 ?5555?t =20468.70（元）
【例5.3】假设例5.2中张某50随时购买的是保额为100000元的终身寿险。已知lx?1000(1?x)，预定利率为0.08，求该保单的趸缴净保费。 10555解： 100000A50?100000?1.08?(t?1)?tt?0p?q5050?1
=
1000001??551.081?(11?1.081)1.0856 =22421.91（元）
【例5.4】某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示为s(x)?1?单的精算现值。 解：由s(x)?1?tp?x 105x，死亡赔付在死亡年年末，i=10%，求这一保105s(40?t)65?t?40s(40)65有
1?1??q40?tp40?t65?t 保单精算现值为： 20000A40?20000?vt?1?tt?0?p?qxx?t
由生存函数可以看出 t因此 20000A40?20000?(t?064p40?0 t≥65
t?11)1.1?65?t1 ?6565?t =3070.65（元）
【例5.5】在例5.2中，假设50岁的张某购买的是一份30年的两全保险，死亡年年末给付，保额为100000元，求该保单的趸缴净保费。
11解：100000A50:30?100000A50:30?100000A50:30
=20468.70?100000?(1.08)?30p50 =24985.85（元）
?30【例5.6】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付。如果在40岁到65岁之间死亡，保险公司赔付50000元；在65岁到75岁之间死亡，受益人可领取100000元的保险金；在75岁之后死亡，保险金为30000元。利用转换函数写出保单精算的表达式。
解：这份保单可以分解成一份50000元的25年定期寿险、一份100000元的延期25年的10年定期寿险与一份30000元延期35年的终身寿险的组合。这样，这份保单的精算现值可以表示为： 化简得：
50000(M40?M60)?100000(M65?M75)?30000M75D
4050000M40?50000M65?70000M75D
40【例5.7】对（x）的一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示：
K 0 1 2 bk+1 300000 350000 400000 qk+1 0.02 0.04 0.06 假设预定利
率为6%，计算这一保单的精算现值。 解:依题意，这一保单的精算现值为：
300000v?q?350000v?2xp?qxx?1?400000v?32p?qxx?2
=36829（元）
【例5.8】某人在30岁投保，假设生存函数在0到100间均匀分布，z为死亡赔付现值随机变量，已知利息力为0.05，求A30:10和A30。
解：（1）由于生存函数在0到100间均匀分布，但x=30时，剩余寿命在[0,70]1
间均匀分布，概率密度f（t）=70 ，故
1
AA130:10?E(Z)??700100e?0.05t30?E(Z)??e?0.05t1?1?dt?e?0.2771700.05?701?e1?dt??0.1124700.05?70
?0.05?70?0.5【例5.9】某人在30岁时投保了50000元的30年两全保险，设预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），求这一保单的趸缴净保费。
解：在死亡均匀分布假设下，趸缴净保费为：
50000A30:30?50000?i?A30:30?A30:3011 ?50000??9467.260.06M30?M60??50000?D60 ln1.06D30D30【例5.10】在例5.9中，如果契约规定在投保的前10年死亡赔付50000元，后20年死亡赔付30000元，满期存货给付20000元，求这一保单的趸缴净保费。
解：这是一个变额保险，可以分解为三部分，趸缴净保费为：
50000A130:100.06 ??ln1.06?4270.52?20000?E10E30303050000?(M30?M40)?30000?(M40?M60)?30000A40:201?D?20000D6030D
30
【例5.11】已知A0=0.8663，i=0.06，求A0。 解：由
(12)i(1?)12i(12)(12)12?1?i?1.06
可算得
=0.058411
再由（5.38）式，得：
A(12)0?ii(12)?A0?0.8899
【例5.12】假设某人41岁时投保了1单位元的终身寿险，死亡年末赔付。已知i=0.05，p40=0.9972，A41?A10?0.00822，求A41。
v?1?0.952381?i?0.90703?1?x?1vq由公式 有
2
?0.002840p40Ax?vq?vpxxA
4040AA4141?A40?A41?(vq?vpA41)?A41(1?vp)?vq?0.008224040?0.21654
第六章
【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，它将能从保险公司得到1000元的一次性给付。设年利率为6%，试写出这笔给付在李明20岁时的现值。
解：李明从20岁活到60岁的概率是40p20，从20岁到60岁死亡的概率为（1?40p20），如果活到60岁，他可以获得1000元给付，死亡则没有给付。因此，他获得给付的期望值为：
1000?40p20?0?(1?40p20)?1000?40p20