单位产品可能曲线，点A是无效率的公司。注意，无效率的点A，在曲线下方，因为ZZ’代表最高的生产可能线。
数据 4
产出主导型的技术和配置效率
Farrell的产出主导型测度模型可以如下定义。在数据4中，AB的距离代表技术无效。这就是，在不增加额外的投入的基础上，可以增加多少产出。因此，产出主导型的技术效率就是这个比率。
TE0=OA/OB （7）
如果我们有价格的信息，我们就可以画等产量曲线DD’，并定义配置效率为
AE0=OB/OC （8）
他有一个使收益增加的定义（类似于投入主导型的减少成本的配置无效的定义）。进一步，我们可以定义总体经济效率为两个测度的综合：
EE0=（OA/OC）=（OA/OB）*（OB/OC）=TE0*AE0 （9）
这三个测量也都在0~1之间。
在总结这章之前，关于我们定义的六个效率测度有两点我们需要说明。
1）所有的测度都是从原点到实际观察到的生产点的射线。因此，他们都有相对恒定的投入（产出）比例。这种射线的效率测度的优点是他们都是单位不变的。 这就是变化度量的单位（例如：测量劳动数量用人时而不是人年）将不会改变效率值。非射线的测度，比如较短的生产点到生产面的距离，可能是被要求的，但是测度将相对选择的测度单位而不是恒定的。在这种情况下，改变测度单位可能导致发现一个不同的更近的点。当我们考虑DEA的松弛变量的时候，在我们将对这一问题进行深入的研究。
2）Farrell的投入主导和产出主导技术效率的测量与Shepherd(1970)的投入产出距离模型可以看做是等价的。想知道更多请看Lovell(1993,p10)。当我们运用DEA计算全要素变化的Malmquist指标的时候，这项观察变得重要。
3.Data Envelopment Analysis(DEA)数据包络分析
数据包络分析是前沿估计的非参数数学规划方法。这里讨论的DEA模型是很简短的，只有相对很少的技术细节。想知道更多方法论的细节请参考Seiford and Thrall(1990),Lovell(1993),Ali and Seiford(1993),Lovell (1994),Charnes et al(1995)and Seiford(1996)的研究。
Farrell(1957)的关于前沿估计的分段线性规划方法仅仅被Farrell论文后的20年
里少数的几个作者所推崇。作者，比如Boles(1966)and Afriat(1972)，所推崇的数学规划方法可以完成任务，但是这种方法并没有引起人们的广泛关注，直到Charnes,Cooper and Rhodes(1978)发表了论文，并且创造了数据包络分析这个词。从那以后，涌现了大量的拓展和运用DEA方法的文献。
Charnes,Cooper and Rhodes(1978)提出了一个模型，这个模型是投入主导型并假设规模报酬不变（CRS）。接下来的论文提出了相反的假设，比如Banker , Charnes and Cooper(1984)提出了规模报酬变化的模型（VRS）。接下来DEA的讨论从3.1的投入主导型的CRS模型开始，因为这个模型是最应该被广泛应用的。
3.1 The Constant Returns to Scale Model(CRS) 规模报酬不变模型
我们从定义一些记号开始。假设有N个公司或者像DEA文献里面叫的DMU。每个公司有K个投入和M个产出的数据。对于第i个DMU，他们分别由xi和yi来代表，K×N的投入矩阵为X，M×N的产出矩阵为Y，代表了所有N个DMU的所有数据。DEA的目的就是在数据点的基础上构造一个非参数的包络前沿，使所有的观测的数据都在生产前沿的上面或者下面。比如工业的一产出，两投入的简单例子，可以看做是一些相交平面，形成了一个涵盖三维空间的散点的紧紧的盖子。给出了规模报酬不变的假设，这可以由投入的单位等产量曲线代表。（参考数据介绍DEA的最好的办法是通过比率的形式。对于每个DMU，我们都得到所有产出关于所有投入的比率的测量，比如：u’yi/v’xi，其中u是M×1的输出权重矩阵，v是K×1的的投入权重矩阵。选择最优的权重就是数学规划要解决的问题。
maxu,v(u’yi/v’xi), st u’yj/v’xj≤1,j=1,2,...,N,
u,v≥0 （10）
这就包括了寻找u和v的过程，这样第i个DMU的效率测度就被最大化了，并且由于约束，所有的效率都是小于等于1.一个特殊的比率的问题就是他有无限个解决办法。为了避免这个问题，我们就可以加入这样的一个假设v’xi=1,这就提出了：
maxμ,ν(μ’yi), st ν’xi=1,
μ’yj-ν’xj≤0, j=1,2,...,N,
μ,ν≥0, （11）
这里，符号由u 和 v 变为 μ 和 ν 正反映了这种转变。这种形式在线性规划里面被称为乘数形式。
使用线性规划的二元形式，我们可以得到这个问题的相等的形式。 minθ,λθ,
st -yi+Yλ≥0,
θxi-Xλ≥0,
λ≥0,
其中θ是一个标量而λ是个N×1的常数矢量，这个包络形式比乘数形式少了很多的约束（K+M DEA的非参数前沿分段线性形式会产生效率测度的一些不同的地方。问题的产生是因为分段前沿函数与坐标轴平行的部分。（参考数据2）这在大多数的参数模型里面是不存在的（参考数据1）。为了阐述这一问题，参考数据5，其中DMU的投入包括C和D是两个有效率的DMU，他代表了前沿。DMU的A和B是无效率的DMU。根据Farrell(1957)的技术效率测度， DMU A和B的技术效率分别为OA’/OA and OB’/OB。然而，问题是A’点是否是效率点呢。因为我们可以在得到同样产出的情况下减少投入的数量x2，（通过CA’）。这在文献里称做投入松弛变量。当我们考虑更多投入和更多产出的情况时，图示就不再简单了，并且相关的概念产出松弛也是可能发生的。因此，在DEA的分析中，提供Farrell的技术效率测度（θ）和非零的投入或产出松弛变量，以此来提供准确的DMU的技术效率指标，这件事是值得争论的。注意，对于第i个DMU的产出松弛变量仅仅当Yλ-yi=0的时候才等于0，投入松弛变量也仅仅当θxi-Xλ=0的时候才等于0。（对于给定的θ和λ） 数据 5 效率测度和投入松弛变量 在数据5中，与A’点相关的投入松弛变量就是投入x2的CA’。当简单的例子里面有更多的投入和产出的时候，我们就可以发现更近的效率前沿点（比如C点）。因此，接下来的松弛变量的计算就不是没有意义的。一些作者建议用两阶段线性规划的方法去移动效率前沿点，通过最大化需要的松弛变量的总和，把无效的的前沿点（比如数据5的A’点）移动到有效率的点（如C点）。两阶段线性规划问题可以如下定义：minλ,OS,IS-(M1’OS+K1’IS), st -yi+Yλ-OS=0, θxi-Xλ-IS=0, λ≥0,OS≥0,IS≥0, （13） 其中oS是M×1的产出松弛变量矩阵，IS是K×1的投入松弛变量矩阵，M1和K1分别是他们的M×1和 K×1 的矩阵。注意，在两阶段线性规划中，θ不是变量，他的取值来于第一阶段。更进一步，我们要注意两阶段线性规划的问题对于N个DMU来说每个都要解决。 有两个主要问题是关于两阶段线性规划的。第一个也是最显而易见的是松弛变量的总和是最大化而不是最小化。因此，我们找到的不是最近的效率点而是最远的效率点。第二个关于两阶段方法的主要问题是对于计量单位来说他不是不变的。计量单位的改变，比如说更多的投入，从千克到吨（在其他计量单位不变的前提下），可以导致发现不同的效率前沿点和不同的松弛变量和更多的测度方法。 然而，我们也要注意，在数据5中的简单的例子里有两点并不是问题所在。因为在垂直面上仅有一个效率点。然而，如果松弛变量发生在两个或者更多维的结构直面上仅有一个效率点。然而，如果松弛变量发生在两个或者更多维的结构中（这是经常发生的）上述问题就会发生了。 （Charnes,Cooper,Rousseau 和Semple(1987)设计了一个单位不变的模型，在这个模型里松弛变量的单位价值和第i个公司的使用的投入或者产出的数量成反比。这能解决直接问题，但是由创造了另一个问题，因为这种方法没有足够的理由计算松弛变量的权重。） 这个问题的结果是，许多研究仅仅解决第一阶段的线性规划问题（等式12），从而得到Farrell的每个DMU的辐射的技术效率值（θ）。并且完全忽略松弛变量，或者他们记录辐射的Farrell的技术效率值（θ）和残余松弛变量，这个变量是这样计算的OS=-yi+Yλ and IS=θxi-Xλ. 然而，这个方法并非能解决所有的问题，可能是因为残余松弛变量不一定提供所有的松弛（Koopmans）变量（例如，数据5.5中有一些观测点在前沿的垂直面部分上时），或者是可能不总是能找出每个DMU的最近的效率点。 在DEAP软件中，我们关于松弛变量给使用者三种选择。 他们是： 1.一阶段DEA，我们在等式12构造线性规划模型并计算松弛变量残值。 2.两阶段DEA，我们用等式12和13构造线性规划模型。 3.多阶段DEA，我们构造一系列的辐射的线性规划模型以此来识别有效预测点。 同其他两种方法相比，多阶段DEA方法计算复杂。然而，这种方法的优点是他能识别投入和产出混合的效率预测点，这些点与非有效点十分的相似，并且识别出的效率预测点相对于测度单位来说是不变的。因此，同另外两个方法相比我们推举使用多阶段的DEA。 我们在这个指南中说了很多关于松弛变量的问题，现在我们总结出我们也许夸大了松弛变量的作用。松弛变量可以看做是用DEA方法来得到前沿结构和使用有限样本的人工品。如果我们能够得到DEA的无限样本，或者使用另外一个估计前沿结构的方法，这种方法有一个光滑的结构表面，那么松弛变量的问题就消失了。另外对于这个观察，我们接受Ferrier and Lovell(1990)的观点是合理的。他们认为松弛变量可以看做是配置无效率。因此，我们相信技术效率分析可以合理的集中于在一阶段DEA线性规划（参考等式12）中得到的辐射效率指数。 然而，如果我们坚持想得到Koopmans效率预测点，我们就强力建议使用多阶段的方法而不是两阶段的方法，原因如上所述。 Example 1 例子1 我们用一个包括五个DMU（公司）的简单例子阐述规模报酬不变投入主导型的数据包络分析。每个DMU都是两投入一产出，数据如下： 表 1规模报酬不变的DEA例子数据 这个例子的投入产出比率在数据6中绘出，同时还汇出了DEA的同等式12对应的前沿。我们可以记在心里，然而，这个DEA前沿是对5个DMU每个都计算一次线性规划的结果。例如，对于DMU3我们可以这样重新书写等式12. minθ,λθ, st -y3+(y1λ1+y2λ2+y3λ3+y4λ4+y5λ5)≥0, θx13-(x11λ1+x12λ2+x13λ3+x14λ4+x15λ5)≥0, θx23-(x21λ1+x22λ2+x23λ3+x24λ4+x25λ5)≥0, λ≥0, （14） whereλ=(λ1,λ2,λ3,λ4,λ5)′. θ和λ的值在表2第三行中提供了最小的θ值。我们注意到DMU3的技术效率 值是0.833。DMU3可以在不减少产出的情况下将投入降低16.7%。这就意味着应该在数据6的3’点生产。这个估计点3’在DMU2和DMU5的连线上，它被认为是点3的对应点。他们定义了前沿相关部分的所在（例如与DMU3相关的）也就定义了DMU3的效率生产点。点3’是点2和点5的线性组合，线性组合的权重就是表2第三行的λ值。 数据 6 规模报酬不变投入主导型DEA例子